1、第 35 卷第 6 期大学物理实验Vol35 No62022 年 12 月PHYSICAL EXPEIMENT OF COLLEGEDec2022收稿日期:2022-09-02基金项目:教育部产学合作协同育人项目(202102227049)，兰州大学教育教学改革研究项目(20201105)*通讯联系人文章编号:1007-2934(2022)06-0012-05磁子在粘性液体中稳定悬浮现象的研究冯娟娟1*，李元杰2，王心华1(1兰州大学 物理科学与技术学院 物理学国家级实验教学示范中心，甘肃 兰州730000;2兰州大学 物理科学与技术学院，甘肃 兰州730000)摘要:理论和实验表明，磁力搅拌
2、器能提供一种简单的被动磁悬浮方法，在这种方法中，悬浮子可以长时间地稳定悬浮。研究了这一现象，理论分析了悬浮的起因，并定量分析了悬浮子的运动(垂直振荡、旋转和摇摆的组合)，实验结论与力学模型分析结果非常吻合(运用龙格库塔方法解二元二阶微分方程组)。本研究对双向微流控泵的发展具有启示意义，提供了复杂的商业悬浮器的替代方案。关键词:流体动力学;流变学;铁磁性;涡流中图分类号:O 4825文献标志码:ADOI:1014139/jcnkicn22-1228202206002悬浮是一种利用磁场、电场或声场使物体悬浮在稳定的机械平衡状态以对抗重力的技术。寻找便宜而简单的稳定悬浮方法为其广泛应用提供了前景，如
3、无摩擦运输、无容器存储、无接触操纵等 1-7。对于磁悬浮，需要考虑欧肖定理，该定理表明，偶极子只有在动态稳定的情况下才能被悬浮 8-13。本文讨论一种新的方法:使用标准的实验室工具:磁力搅拌器，实现被动磁悬浮。利用这个装置，在甘油中，观察到一个简单的棒状磁子经历了从稳定的旋转模式到稳定的振荡悬浮模式的转变。主要的实验装置为磁力搅拌器，棒状磁子，粘性液体-甘油。通过逐渐增大驱动子的转速。在某些特定情况下，磁力搅拌器的“搅拌子”在搅拌时，能在粘性流体中稳定地上升和悬浮。本文探究了“搅拌子”动态稳定的起源，讨论了相关参数的影响。所谓的动态稳定包括竖直稳定和径向稳定。竖直稳定是指在竖直方向上磁子几何中
4、心高度基本保持不变。而径向稳定是指磁子在水平方向基本处于中心位置，并且认为磁子能保持 30 s 以上稳定，并且给其微扰可以回归。1悬浮子的动力学驱动子和悬浮子在悬浮子角速度 d=时悬浮子开始悬浮。当 d减小到 时，悬浮子不下落，直到 d=时下落。其中 d是驱动子角速度，定义为悬浮子开始悬浮时搅拌子的临界角速度，定义为悬浮子从悬浮状态开始下落时搅拌子的临界角速度。水平方向上的转动运动的分析:由于磁力的水平分量提供的磁力矩作周期性变化，悬浮后的悬浮子在水平方向上的转动除了一个有恒定角速度为 s的旋转(spin)外，还有一个角振幅为 A，角频率为 w的摇摆(waggle)。通过初步分析，本文认为磁子
5、竖直方向上的稳定性是由于磁子转动时，排斥力作用时间大于吸引力作用时间，一个周期内斥力和吸引力的平均作 用 效 果 和 重 力 作 用 效 果 实 现 平 衡(抵消)14，而水平方向上的稳定是由于偏离驱动子转轴的搅拌子会进行偏心抖动，产生指向驱动子转轴的向心力，使其回归。令烧杯底至驱动子距离为 Zb，搅拌子至驱动子距离为 Z，搅拌子转过的角度为，驱动子与搅拌子的夹角为。图 1 为实验装置示意图。对于磁子悬浮前的过程，称之为同步过程。当驱动子转速不大时，搅拌子停留在容器底部，与驱动子同步转动。同步旋转阶段的动力学方程为:(a)实验装置示意图(b)搅拌子和磁子角度示意图图 1装置示意图D?M(zb)
6、sin=0(1)其中，D=8Kl3，M(z)=0mdmf4z3D 是长椭球体的阻力常数，K 是几何因子，表示由于容器底部的接近而增加的阻力，是搅拌子长度，是粘滞系数。md和 mf分别是驱动器和悬浮子的磁矩，0是真空磁导率。随着 d逐渐增加，逐渐增大至/2，此时磁力作用效果由吸引变为排斥，磁力矩达到最大值。进一步加大转速，使得阻力矩大于磁力矩，搅拌子与驱动子不再同步，最后达到悬浮状态。当=/2 时，由 D?M(zb)sin=0 得:d=M(Zb)D(2)将 M 和 D 的表达式代入，得:=0mdmf322Kl3z3(3)此即悬浮子开始悬浮时的驱动子角速度。悬浮后的水平方向上的动力学方程为:I+D
7、?-M(z)sin(dt)=0(4)而归化后的竖直方向上的动力学方程为:zg+?zVt+z0z()4cos(dt)+1=0(5)Z0为悬浮子到驱动子的距离，此时竖直方向上的磁力等于重力。t为搅拌子在甘油中自由下落的最终速度，g为考虑浮力后修正的重力加速度。2稳定悬浮高度与 d的关系要进行数值计算，需要知道的参量有:磁子的转动惯量 I，式中的阻力常数 D，磁力力矩M(Z0)、等效重力加速度 g，磁子下落的稳定速度t以及式中的平衡高度 Z0。运用扭摆测量，得转动惯量 I=247108kgm2。考虑到浮力后修正的等效重力加速度为 g=801m/s2。测得 Z0为 425 cm。代入(3)得 0mdm
8、f=127106m5kgs2。测得此时的 为 242rad/s。由其表达式可得 D=68104kgm/s。通过 tracker 获得悬浮子下沉的坐标数据，通过线性拟合后得到t=662 cm/s。联立(4)、(5)，将上面所测量结果带入微分方程，运用MATLAB 计算，结果见图 2。t/s(a)=240rad 的情况下，随时间的变化t/s(b)=240rad 的情况下，随时间的变化(ODE)图 2计算结果31第 6 期冯娟娟，等:磁子在粘性液体中稳定悬浮现象的研究图 2(a)是通过龙格库塔法15 得到的 随时间的变化情况，可以看到，正如预期的，它是一个匀速转动和摆动的叠加。运用 ODE 函数16
9、 验证，得到了类似的结果(图 2(b)。而后图 3 是转速分别为 180、240、300、360rad/s 下，Z 随时间的变化关系。从图 3 可以看出，随着转速的增大，稳定悬浮的高度逐渐降低，振幅逐渐变小。通过实验结果，可以验证上面的模拟结果。t/s(a)=180 rad/s 的情况下，z 随时间的变化t/s(b)=240 rad/s 的情况下，z 随时间的变化t/s(c)=300 rad/s 的情况下，z 随时间的变化t/s(d)=360 rad/s 的情况下，z 随时间的变化图 3不同 值，z 随时间的变化在模拟时通过取不同的 d得到相应的稳定悬浮的高度，再将其连接起来，作为 Z-d理论
10、曲线。实际实验中，通过在不同的 d下测得稳定悬浮的高度，作为实验值，从图 4 中可以看出实验值与理论值吻合得很好，表明理论模型基本正确。d(rad/s)图 4悬浮高度与驱动子转速之间的关系上述的理论计算结果和实验结果表明，在甘油液体中，可以通过改变相关参量(例如 d)，来控制稳定悬浮的悬浮高度。3影响 与 的相关参数另外，对可能影响、的另外几个参数也进行了研究。具体研究的参量关系有:(a)研究了、与液体深度的关系(图 5(a)，结果表明、与液体深度无明显关系;(b)研究了、与甘油浓度的关系，如图 5(b)所示，与粘度的15 次方成正比;(c)研究了、与 Zb的关系，图 5(c)显示 与 Zb的
11、负三次方成正41大学物理实验2022 年比;(d)研究了不同尺寸搅拌子与、的关系(图 5(d)，可以看到、对于不同尺寸存在差异;(e)研究了不同杯径烧杯与、的关系(图 5(e)，实验结果、与杯径无明显关系。Liquid depth/cm室温 25，Zb=135 cm、浓度 100%(a)与液体深度的关系Viscosity(mPas)室温 25，液面高度 3 cm、Zb=135 cm(b)与甘油浓度(液体粘度)的关系Zb/cm室温 25，液面高度 3 cm、浓度 100%(c)与 Zb的关系Size/mm(d)与搅拌子尺寸的关系Diameter/cm(e)与杯径的关系图 5 与不同参数的关系图
12、5 为相应的实验结果，从图中可以看出、与液体深度和杯径无明显关系。并且正如理论预测，与粘度的15 次方成正比，与 Zb的负三次方成正比。另外，由于不同形状和长度的磁子会影响 中的其它各参量，又研究了 与几何外型的定性关系。从以上数据可得，实验的现象基本符合 的理论公式的结论。4结语综上所述，磁力搅拌器提供了一种简单的被动磁悬浮方法，在这种方法中，悬浮子可以长时间地稳定悬浮。本研究中观察了磁悬浮现象，分析了其处于动态稳定状态的原因，得到了具体的运动方程。而后通过用数值方法解微分方程，得到了理论结果，并通过实验数据验证了理论计算，最后探究了稳定悬浮的阈值与相关参数的影响。51第 6 期冯娟娟，等:
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