1、第七章平行线的证明,数学八年级上册北师,第一节为什么要证明,第一节,1.下列结论,你能肯定的是()A.今天是阴天,明天必然还是阴天B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明的数学成绩一向很好,因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖D.两张照片看起来完全一样,可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的,答案,1.B【解析】三个连续整数中一定有一个是2的倍数、一个是3的倍数,所以它们的积一定能被6整除,故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论,不能说明一定成立.故选B.,知识点 1证明的必要性,2.如图,位于中心的两圆一样大吗?,答案,2.【解析】借助圆规或刻度尺,可知位于中心的两圆的半径或直径相
2、等,故两圆一样大.,知识点 1证明的必要性,3.一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b(b0),若把它的十位数字与个位数字对调,将得到一个新的两位数,这两个两位数的和能被11整除吗?差能被11整除吗?我们可以验证一下,比如23,对调后所得到的新的两位数是32,而23+32=55,32-23=9.因此我们断定,这两个两位数的和能被11整除,差不能被11整除.请问上述验证过程正确吗?若不正确,请写出正确的验证过程.,答案,3.【解析】不正确,上述验证过程只是一个特例,为了验证结论的正确性,可作如下证明:因为原两位数的十位数字为a,个位数字为b(b0),所以原两位数为10a+b,新两位数为10b
3、+a.因为(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),是11的整数倍,所以这两个两位数的和能被11整除.因为(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b),一定不是11的整数倍,所以这两个两位数的差不能被11整除.,知识点 1证明的必要性,4.下列说法正确的是()A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个,答案,4.D【解析】A项中的经验、观察或实验往往受到外部条件、自身水平等因素的影响,因此不一定能判断一个数学结论
4、的正确与否;B项的说法明显错误;C项,当n=36时,n2+n+37=3737,不是质数;易知D项正确.故选D.,知识点 2检验数学结论是否正确的常用方法,5.由幂的乘方的性质得(ab)2=a2b2,类比这个等式,能得到(a+b)2=a2+b2也成立吗?,答案,5.【解析】不能.因为(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,所以不能得到(a+b)2=a2+b2成立.,知识点 2检验数学结论是否正确的常用方法,6.我们知道:22=4,2+2=4.试问:对于任意实数a与b,是否一定有结论ab=a+b?,答案,6.【解析】不一定.假设a=3,b=2.因为32=6,3+2=5,而65,所以
5、对于任意实数a与b,不一定有结论ab=a+b.,7.2018山东淄博中考甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()A.3 B.2 C.1 D.0,答案,7.D【解析】4个人共进行6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同,所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场.若甲只胜一场,这时乙、丙各胜一场,说明丁胜三场,这与甲胜丁矛盾,所以甲只能是胜两场,即:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,也就是胜0场.所以甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,丁胜0场.故选D.,知识点 3推理的应用,8.2019安徽淮南田家庵区期中小李用
6、计算机设计了一个计算程序,输入数据和输出数据如下表:当输入的数据为8时,输出的数据是.,答案,8.8 65【解析】通过观察,可以发现输出数据的分子与输入的数据相同,输出数据的分母是输入数据的平方加1,即当输入数据为n时,输出数据为 2+1.所以当输入的数据为8时,输出的数据是 8 65.,知识点 3推理的应用,第二节定义与命题,第二节,课时1定义与命题,课时1,1.下列语句中,属于定义的是()A.两点确定一条直线B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,同位角相等D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度,答案,1.D【解析】定义是对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,而不是对其性质
7、的判断.定义中一般有“叫做”“是”等词语.选项A中的语句属于公理,选项B,C中的语句属于定理,只有选项D中的语句符合要求.故选D.,知识点 1定义,2.下列不属于定义的是()A.两边相等的三角形是等腰三角形B.两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离C.正方形的四条边相等D.含有未知数的等式叫做方程,答案,2.C,知识点 1定义,3.下列语句中,不是命题的是()A.垂线段最短B.不平行的两条直线只有一个交点C.x与y的和D.两点之间线段最短,答案,3.C【解析】判断一件事情的句子,叫做命题,只有对事情作出了某种判断的语句才是命题.A项、B项、D项都对某件事情作出了判断,而C项没有对事情作出任何
8、判断.故选C.,知识点2命题,4.给出下列语句:如果两个角都是50,那么这两个角是对顶角;直角三角形一定不是轴对称图形;画线段AB=5 cm;延长线段AB至点C,使AB=BC;明天下雨吗?其中命题的个数为()A.1B.2C.3D.4,答案,4.B【解析】命题应该对一件事情作出判断,疑问句、祈使句、几何作图语言都不是命题.结合题中语句,可知是命题.故选B.,知识点2命题,5.命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是()A.平行B.两条直线C.同一条直线D.两条直线平行于同一条直线,答案,5.D,知识点3命题的组成,6.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”的条件是,结论是.
9、,答案,6.一个点在一条线段的垂直平分线上这个点到这条线段两个端点的距离相等,知识点3命题的组成,7.将下列命题改写成“如果那么”的形式,并指出条件、结论.(1)90的角是直角;(2)在平面内,垂直于同一直线的两直线平行.,答案,7.【解析】(1)如果一个角是90,那么这个角是直角.条件:一个角是90.结论:这个角是直角.(2)如果平面内两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.条件:平面内两条直线垂直于同一条直线.结论:这两条直线平行.,知识点3命题的组成,8.下列命题是真命题的是()A.三个角对应相等的两个三角形全等B.同旁内角相等,两直线平行C.钝角三角形只有一条高线D.有两个角和一
10、条边对应相等的两个三角形全等,答案,8.D【解析】A项,三个角相等的两个三角形不一定全等,故错误,是假命题;B项,同旁内角互补,两直线平行,故错误,是假命题;C项,所有三角形均有三条高线,故错误,是假命题;D项,有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等,正确,是真命题.故选D.,知识点4真命题、假命题、反例,9.给出下列命题:方程x2-4=0的解是x=2;64的平方根是8;两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;若a2=b2,则a=b;若式子 1 有意义,则x1.其中假命题有()A.4个 B.3个C.2个 D.1个,答案,9.B【解析】真命题要经过推理验证其正确性,假命题只需举出一个反例即可
11、.易知是真命题.方程x2-4=0的解是x=2,故是假命题;取a=1,b=-1,则a2=b2,但ab,故是假命题;若式子 1 有意义,则x1,故是假命题.故选B.,知识点4真命题、假命题、反例,10.2019福建泉州期中下列选项,能说明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A.2k(k为常数)B.15C.24 D.42,答案,10.D【解析】A项,2k(k为常数)是偶数,有可能是8的倍数;B项,15是奇数不是偶数;C项,24是偶数,并且是8的3倍;D项,42是偶数,不是8的倍数.所以可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是42.故选D.,知识点4真命题、假命题、反例
12、,11.判断下列命题是真命题,还是假命题,是假命题的举反例加以说明.(1)如果AB=2BC,那么点C是AB的中点;(2)三条线段长度分别为a,b,c,如果a+bc,那么这三条线段一定能组成三角形;(3)如果|a|=|b|,那么a=b.,答案,11.【解析】(1)假命题,反例:当点C在AB的延长线上,且AB=2BC时,点C不是AB的中点.(2)假命题,反例:当a=5,b=1,c=3时,5+13,但长为5,1,3的三条线段不能组成三角形.(3)假命题,反例:当a=2,b=-2时,|a|=|b|,但ab.,知识点4真命题、假命题、反例,课时2定理与证明,课时2,1.下列命题能够称为公理的是()A.同
13、角的补角相等B.两点确定一条直线C.邻角的平分线互相垂直D.内错角相等,两直线平行,答案,1.B【解析】公认的真命题叫做公理,只有B项符合.故选B.,知识点 公理、证明、定理,2.某工程队在修建高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以说明这样做能缩短路程()A.直线的公理B.直线的公理或线段最短公理C.线段最短的公理D.平行公理,答案,2.C【解析】由题意知,用到两点之间线段最短.故选C.,知识点 公理、证明、定理,3.给出下列命题:能被3整除的数也能被6整除;等式两边除以同一个数,结果仍是等式;x=2是一元一次方程x-2=0的根;对顶角相等.其中可以作为定理的有()A.1个 B.
14、2个C.3个 D.4个,答案,3.A【解析】演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.能被3整除的数,不一定能被6整除,故是假命题;等式两边除以同一个不为零的数,结果仍是等式,故是假命题;是一个运算过程,不能作为定理;对顶角相等是定理.故选A.,知识点 公理、证明、定理,4.如图,点C是直线AB上的一点,CE,CF分别是ACD,BCD的平分线.求证:CECF.,答案,4.【解析】点C是直线AB上的一点(已知),ACD+BCD=180(平角的定义).CE,CF分别是ACD,BCD的平分线(已知),ECD=1 2 ACD,FCD=1 2 BCD(角平分线的定义),ECD+FCD=1 2(A
15、CD+BCD)=1 2 180=90(等量代换),CECF(垂直的定义).,知识点 公理、证明、定理,5.如图,在ABC和ADC中,给出下列三个论断:BC=DC;BAC=DAC;AB=AD.请将其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论构成一个真命题,然后写出证明过程.,答案,5.【解析】条件:BAC=DAC,AB=AD.结论:BC=DC.证明:在ABC和ADC中,=,=,=,所以ABCADC,所以BC=DC.(答案不唯一),知识点 公理、证明、定理,6.“全等三角形对应边上的中线相等”是真命题还是假命题?若是真命题,请给予证明(要求写出已知,求证并画出图形);若是假命题,请举出反例.,答案
16、,6.【分析】由全等三角形的性质可得对应边相等,对应角相等,再根据中点的性质,利用“SAS”可判定由原三角形的一边及对应边上的中线组成的两个三角形全等,根据全等三角形的性质可得到中线相等,从而可得出该命题是真命题.【解析】该命题是真命题.已知:如图,ABCA1B1C1,AD,A1D1分别是对应边BC,B1C1上的中线.求证:AD=A1D1.证明:ABCA1B1C1(已知),AB=A1B1,BC=B1C1,B=B1(全等三角形的性质).BD=1 2 BC,B1D1=1 2 B1C1(中线的性质),BD=B1D1(等量代换),ABDA1B1D1(SAS),AD=A1D1(全等三角形的性质).,知识
17、点 公理、证明、定理,第三节平行线的判定,第三节,1.2020山东滨州模拟如图,在四边形ABCD中,点E在线段DC的延长线上,给出下列条件:(1)D=BCE,(2)B=BCE,(3)A+B=180,(4)A+D=180,(5)B=D.其中能使直线ADBC的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,1.B【解析】(1)利用“同位角相等,两直线平行”判定ADBC.(3)利用“同旁内角互补,两直线平行”判定ADBC.故选B.,知识点平行线的判定,2.易错题 2019河南省实验中学期末在下面的四个图形中,已知1=2,那么能判定ABCD的是(),答案,2.A,知识点平行线的判定,A B C D
18、,3.如图,若1与2互补,2与3互补,则()A.l4l5 B.l1l2C.l1l3 D.l2l3,答案,3.C【解析】因为1与2互补,2与3互补,所以1=3,所以l1l3(内错角相等,两直线平行).故选C.,知识点平行线的判定,4.2019山东聊城三模如图,ABCD,AF交CD于点O,且OF平分EOD,如果A=34,那么EOC的度数是()A.134 B.68C.112 D.146,答案,4.C【解析】ABCD,A=34,DOF=A=34.OF平分EOD,EOD=2FOD=68,EOC=180-68=112.故选C.,知识点平行线的判定,5.已知:如图,1=ABC=ADC,3=5,2=4,ABC
19、+BCD=180.填空:(1)1=ABC,AD;();(2)3=5,AB();(3)2=4,();(4)1=ADC,();(5)ABC+BCD=180,().,答案,5.(1)BC同位角相等,两直线平行;(2)CD内错角相等,两直线平行;(3)ADBC内错角相等,两直线平行;(4)ABCD内错角相等,两直线平行;(5)ABCD同旁内角互补,两直线平行,知识点平行线的判定,6.如图,ABBC,1+2=90,2=3.求证:BEDF.,答案,6.【解析】ABBC,3+EBC=90.2=3,1+2=90,1=EBC,BEDF.,知识点平行线的判定,7.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,EG平分B
20、EF,FG平分EFD,且1+2=90.求证:ABCD.,答案,7.【解析】因为EG平分BEF,FG平分EFD(已知),所以BEF=21,EFD=22(角平分线的定义),所以BEF+EFD=21+22(等式的性质),又因为1+2=90(已知),所以BEF+EFD=2(1+2)=180,所以ABCD(同旁内角互补,两直线平行).,知识点平行线的判定,8.如图,BD平分ABC,1=D,那么AB与CD平行吗?并说明理由.,答案,8.【解析】ABCD.理由如下:因为BD平分ABC(已知),所以1=ABD(角平分线的定义),又因为1=D(已知),所以ABD=D(等量代换),所以ABCD(内错角相等,两直线
21、平行).,知识点平行线的判定,1.2020河北保定竞秀区二模如图,将木条a,b与c钉在一起,1=70,2=50,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少为()A.10B.20C.50D.70,答案,1.B,2.2020湖北黄冈二模如图,下列条件中,能判定DEAC的是()A.EDC=EFCB.AFE=ACDC.1=2D.3=4,答案,2.D【解析】3与4是直线DE,AC被直线EC所截而成的内错角,根据“内错角相等,两直线平行”,可知当3=4时,能判定DEAC.故选D.,3.2019江苏苏州期中如图,四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边a,b互相平行的是()A.如图,展开后测得1=2B.
22、如图,展开后测得1=2且3=4C.如图,测得1=2=60D.如图,展开后再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得ABCD,答案,3.D【解析】A项,由1=2,可以判定ab,理由是“内错角相等,两直线平行”;B项,由1=2且3=4,可得1=2=3=4=90,可以判定ab;C项,由折叠的性质知1=3,因为1=2=60,所以3=60,所以3=2,可以判定ab,理由是“内错角相等,两直线平行”.故选D.,4.如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中1=55,2=55,3=125,找出图中的平行线,并说明理由.,答案,4.【解析】ABCD,ACBD.理由如下:1=55,2=55,1=2,ABCD(同位
23、角相等,两直线平行).1=55,3=125,1+3=180,ACBD(同旁内角互补,两直线平行).,5.如图,已知1+2=180,A=C.(1)AE与CF平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?,答案,5.【解析】(1)AE与FC平行.理由如下:1+2=180(已知),2+CDB=180(平角的定义),1=CDB(同角的补角相等),AECF(同位角相等,两直线平行).(2)平行.理由如下:AECF,C=CBE(两直线平行,内错角相等),又A=C(已知),A=CBE(等量代换),ADBC(同位角相等,两直线平行).,6.有一段如图所示的公路,其中BCD+B+D=360,那么该段
24、公路中的AB与ED平行吗?请说明理由.,答案,6.【解析】ABED.理由如下:如图,过点C作CFAB,所以B+BCF=180(两直线平行,同旁内角互补).因为BCD+B+D=360(已知),所以D+DCF=360-B-BCF=360-(B+BCF)=360-180=180(等量代换),所以CFDE(同旁内角互补,两直线平行),所以ABED(平行于同一条直线的两条直线平行).,7.如图,已知AB=AC=AD,且C=2D.求证:ADBC.,答案,7.【解析】AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD,又C=2D,ABC=2ABD,CBD=ABD=D,ADBC.,第四节平行线的性质,第四 节,1.20
25、19湖南长沙中考如图,平行线AB,CD被直线AE所截,1=80,则2的度数是()A.80 B.90C.100 D.110,答案,1.C【解析】如图,1=80,3=100.ABCD,2=3=100.故选C.,知识点1平行线的性质,2.2019山东威海期末直角三角板GEF(GEF=90,GFE=30)如图放置,已知ABCD,AF平分BAE,则AEG=()A.40 B.35C.30 D.20,答案,2.C【解析】ABCD,AF平分BAE,BAF=EAF=AFE=30,BAE=60,AEF=180-60=120.GEF=90,AEG=120-90=30.故选C.,知识点1平行线的性质,3.2020重庆
26、渝北中学期中如图,ABCD,点E是CD上一点,AEC=42,EF平分AED交AB于点F,求AFE的度数.,答案,3.【解析】AEC=42(已知),AED+AEC=180(平角的定义),AED=180-AEC=138(等式的性质).EF平分AED(已知),DEF=1 2 AED=69(角平分线的定义),又ABCD(已知),AFE=DEF=69(两直线平行,内错角相等).,知识点1平行线的性质,4.已知:如图,ABCD,B=D,点F在AD上,EF交BC的延长线于点E.求证:E=DFE.,答案,4.【解析】ABCD(已知),B+DCB=180(两直线平行,同旁内角互补),又B=D(已知),D+DCB
27、=180(等量代换),ADBC(同旁内角互补,两直线平行),E=DFE(两直线平行,内错角相等).,知识点1平行线的性质,5.2019贵州遵义中考如图,1+2=180,3=104,则4的度数是()A.74 B.76C.84 D.86,答案,5.B【解析】如图,1+2=180,1+5=180,2=5,ab,4=6.3=104,6=180-3=76,4=76.故选B.,知识点2平行线的性质与判定的综合应用,6.如图,C=3,2=80,1+3=140,A=D,则B的度数是()A.80 B.40C.60 D.无法确定,答案,6.B【解析】C=3,EFBC,1+2=180.2=80,1=100.1+3=
28、140,C=3=40.A=D,ABCD,B=C=40.故选B.,知识点2平行线的性质与判定的综合应用,7.2019河南南阳期末如图,ADC=ABC,BE,DF分别平分ABC,ADC,且1=2.求证:(1)ABCD;(2)A=C.,答案,7.【解析】(1)BE,DF分别平分ABC,ADC(已知),2=1 2 ABC,3=1 2 ADC(角平分线的定义),又ABC=ADC(已知),2=3(等量代换).1=2(已知),1=3(等量代换),ABCD(内错角相等,两直线平行).(2)由(1)得ABCD,A+ADC=180,C+ABC=180(两直线平行,同旁内角互补).ADC=ABC(已知),A=C(等
29、角的补角相等).,知识点2平行线的性质与判定的综合应用,8.求证:垂直于同一条直线的两条直线平行.,答案,8.【解析】已知:如图,ac,bc.求证:ab.证明:ac,bc(已知),1=90,2=90(垂直的定义),1=2(等量代换),ab(同位角相等,两直线平行).,知识点3证明的一般步骤,1.2019湖北天门中考如图,CDAB,点O在AB上,OE平分BOD,OFOE,D=110,则AOF的度数是()A.20 B.25C.30 D.35,答案,1.D【解析】CDAB,AOD+D=180,BOD=D.D=110,AOD=70,BOD=110.OE平分BOD,DOE=55.OFOE,FOE=90,
30、DOF=90-55=35,AOF=70-35=35.故选D.,2.2018四川广安中考一大门栏杆的平面示意图如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,若BCD=150,则ABC=度.,答案,2.120【解析】如图,过点B作BGAE.CDAE,CDBGAE,1+BCD=180,2+BAE=180,又BCD=150,BAE=90,1=30,2=90,ABC=1+2=120.,3.2020广东一模如图,已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点,若长方形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成1,2,则2-1=.,答案,3.90【解析】如图,由平行线的性质,得2=3,因为
31、4=90-1,3+4=180,所以3+4=2+90-1=180,所以2-1=90.,4.2020河南新乡期末如图,已知1+2=180,3=B,试猜想AED和C的关系,并说明理由.,答案,4.【解析】AED=C.理由如下:因为1+2=180(已知),1+DFE=180(平角的定义),所以2=DFE(同角的补角相等),所以ABEF(内错角相等,两直线平行),所以3=ADE(两直线平行,内错角相等),又因为3=B(已知),所以ADE=B(等量代换),所以DEBC(同位角相等,两直线平行),所以AED=C(两直线平行,同位角相等).,5.如图,AOB的一边OA为平面镜,AOB=3736,在OB上有一点
32、E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,求DEB的度数.,答案,5.【解析】如图,过点D作DFAO交OB于点F.反射角等于入射角,1=3.DCOB,1=2(两直线平行,内错角相等),2=3(等量代换).在RtDOF中,ODF=90,AOB=3736,2=90-3736=5224(直角三角形的两个锐角互余),DEB=180-1-3=180-22=7512.,6.如图,已知ABCD,不添加辅助线,试再添加一个条件,使1=2成立.(1)写出两个合适的条件;(2)选择其中一个加以证明.,答案,6.【解析】(1)AEFH,EAH=FHA.(答案不唯一)(2)选择:AEFH
33、.证明:因为ABCD(已知),所以BAH=CHA(两直线平行,内错角相等),因为AEFH(已知),所以EAH=FHA(两直线平行,内错角相等),所以BAH-EAH=CHA-FHA(等式的性质),所以1=2.,7.如图,ABCD,BE平分ABF,DE平分CDF,BFD=120,求BED的度数.,答案,7.【解析】如图,分别过点E,F作EMAB,FNAB,则ABEMFNCD,ABE=BEM,CDE=DEM,BFN=ABF,CDF=DFN,BE平分ABF,DE平分CDF,ABE=EBF=BEM,CDE=EDF=DEM,BED=ABE+CDE,BFD=2ABE+2CDE=120,BED=60.,第五节
34、三角形内角和定理,第五节,课时1三角形内角和定理,课时1,1.2019湖北襄阳中考如图,直线BCAE,CDAB于点D,若BCD=40,则1的度数是()A.60 B.50C.40 D.30,答案,1.B【解析】CDAB,BCD=40,DBC=180-90-40=50.BCAE,1=DBC=50.故选B.,知识点 1三角形内角和定理,2.2020广东揭阳期末如图,在ABC中,A=60,C=70,BD平分ABC,DEBC,则BDE的度数是()A.50 B.25C.30 D.35,答案,2.B【解析】在ABC中,A=60,C=70,ABC=180-A-C=180-60-70=50.BD平分ABC,DB
35、C=25.DEBC,BDE=DBC=25.故选B.,知识点 1三角形内角和定理,3.2018湖北黄石中考如图,ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是BAC,ABC的平分线,BAC=50,ABC=60,则EAD+ACD=()A.75 B.80C.85 D.90,答案,3.A【解析】AD是BC边上的高,ABC=60,BAD=30.BAC=50,AE平分BAC,BAE=25,DAE=BAD-BAE=5.在ABC中,C=180-ABC-BAC=70,EAD+ACD=5+70=75.故选A.,知识点 1三角形内角和定理,4.如图,在ABC中,C=ABC=2A,BD是AC边上的高,求DBC的度数.
36、,答案,4.【解析】设A=x,则C=ABC=2x,x+2x+2x=180,解得x=36,C=72.在BDC中,BDC=90,DBC=180-90-C=18.,知识点 1三角形内角和定理,5.2020天津西青区期末如图,AD是ABC的高,BE平分ABC交AD于点E.若C=76,BED=64,求BAC的度数.,答案,5.【解析】AD是ABC的高,ADB=90,EBD=180-90-BED=26.BE平分ABC,ABD=2EBD=52,BAC=180-ABD-C=180-52-76=52.,知识点 1三角形内角和定理,6.2019黑龙江鸡西期末如图,BGEF,ABC的顶点C在EF上,AD=BD,A=
37、23,BCE=44,求ACB的度数.,答案,6.【解析】AD=BD,A=23,ABD=A=23.BGEF,BCE=44(已知),DBC=BCE=44(两直线平行,内错角相等),ABC=DBC+ABD=44+23=67.在ABC中,A+ABC+ACB=180(三角形内角和定理),ACB=180-67-23=90(等式的性质).,知识点 1三角形内角和定理,7.2019浙江杭州中考在ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则()A.必有一个内角等于30B.必有一个内角等于45C.必有一个内角等于60D.必有一个内角等于90,答案,7.D【解析】如图,在ABC中,A+B+C=180,A=C-B,2C
38、=180,C=90.故选D.,知识点 2三角形内角和定理的应用,8.在ABC中,B-C=20,A=80,求B,C的度数,并说明ABC按角分类属于什么三角形.,答案,8.【解析】设C的度数为x,则B=x+20.根据三角形内角和定理,得x+(x+20)+80=180,解得x=40,所以C=40,B=40+20=60,又因为A=80,所以ABC的三个角都是锐角,所以ABC按角分类属于锐角三角形.,知识点 2三角形内角和定理的应用,9.一个模板如图所示,设计要求BA和CD相交成30角,DA和CB相交成20角,怎样通过测量A,B,C,D的度数来检查模板是否合格?,答案,9.【解析】如图,延长BA,CD相
39、交于点E,延长DA,CB相交于点F.设计要求BA和CD相交成30角,即BEC=30,只要量得ABC+C=150,就可判定BA与CD相交成30角.同理,只要量得C+CDA=160,就可判定DA与CB相交成20角.,知识点 2三角形内角和定理的应用,1.如图,点O是ABC内一点,A=80,1=15,2=40,则BOC=()A.135 B.120C.95 D.65,答案,1.A【解析】BOC=180-(OBC+OCB)=180-180-(1+2+A)=1+2+A=135.故选A.,2.如图,将ABC沿DE,HG,EF翻折,三个顶点均落在点O处,若1=131,则2的度数为()A.49 B.50C.51
40、 D.52,答案,2.A【解析】由折叠的性质,得HOG=B,DOE=A,EOF=C.A+B+C=180,HOG+DOE+EOF=180.1+2+HOG+DOE+EOF=360,1+2=180.1=131,2=180-131=49.故选A.,3.如图,在ABC中,A=80,高BE和CH的交点为O,则BOC=()A.80 B.120C.100 D.150,答案,3.C【解析】BE和CH为ABC的高,BHC=AEB=90.A=80,在ABE中,ABE=180-AEB-A=180-90-80=10,在BHO中,BOH=180-BHO-HBO=180-90-10=80,BOC=180-BOH=180-8
41、0=100.故选C.,4.2018湖南永州中考一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边AB,CE相交于点D,则BDC=.,答案,4.75【解析】CEA=60,BAE=45,ADE=180-CEA-BAE=75,BDC=ADE=75.,5.将如图所示的一块直角三角板放置在ABC上,使三角板的两条直角边DE,EF分别经过点B,C,若A=70,则ABE+ACE=.,答案,5.20【解析】在EBC中,EBC+ECB+E=180,E=90,EBC+ECB=90.在ABC中,ABC+ACB+A=180,即ABE+EBC+ECB+ACE+A=180,ABE+ACE=90-A=20.,6.如图,1+2+3+4=.,答案,6.280【解析】1+2=180-40=140,3+4=180-40=140,1+2+3+4=280.,7.如图,将ABC沿EF折叠,使点C落到点C处,则1+2 2C.(填“”“”或“=”),答案,7.=【解析】1=180-2CEF,2=180-2CFE,1+2=360-2(CEF+CFE)=360-2(180-C)=360-360+2C=2C.,