1、第四章 数值积分,4.0 引言 我们知道,若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式,求得定积分,求定积分的值,Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：,(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了,(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数,并不复杂，但积分后
2、其表达式却很复杂,积分后其原函数F(x)为：,(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数 关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。,4.1 数值积分概述 4.1.1 数值积分的基本思想 积分值 在几何上可以解释为由x=a
3、,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x),图4-1 数值积分的几何意义,建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的,因而 的值也是未知的,称 为f(x)在区间a,b上的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法,三个求积分公式,梯形公式,y=f(x),y,x,a,b,y=f(x),a,b,y,x,
4、(a+b)/2,中矩形公式,按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如 分别取 和,则分别得到中矩形公式和梯形公式。,y=f(x),a,b,a,b,y=f(x),y,a,b,Simpson公式,(a+b)/2,f()的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式把a,b 的中点处函数值 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。,a,b,(a+b)/2,在这三个公式中,梯形公式把f(a),f(b)的加权平均值,作为平均高度,Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值 似值而获得的一种数值积分方法。,作为平均高度f()
5、的近,（2）先用某个简单函数 近似逼近f(x),用 代替原被积函数f(x)，即,以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替,4.1.2 插值求积公式设已知f(x)在节点 有函数值,作n次拉格朗日插值多项式,式中,这里,多项式P(x)易于求积,所以可取 作为 的近似值，即,其中,称为求积系数。给出如下定义。,定义4.1 求积公式,其系数 时，则称求积公式为插值求积公式。,(4.1),设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得,其中,当f(x)是次数不高于n的多项式时，有=0,求积公式(4.1)能成为准确的等式。由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。,定义（代数精度）设求积公式（4.1）对于一 切次数小于等于m的多项式(,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）,由定义可知，若求积公式（4.1）的代数精度为n，则求积系数 应满足线性方程组：,或,),这是关于 的线性方程组，其系数矩阵,是范得蒙矩阵,当互异时非奇异,故 有唯一解。,