1、,第四章,多元函数微分学,（一）多元函数的概念,1.【二元函数的定义】,设D是R 2 的上的一个非空子集，称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，通常记为：,类似地可定义三元及三元以上函数,2.【多元函数】,【例1】求 的定义域,【解】,所求定义域为,【注】二元函数定义域的画法（重点）,3.【二元函数 的图形】,二元函数的图形通常是一张曲面.,【例如】,图形如右图.,【例如】,左图球面.,单值分支:,三、小结 思考题,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,（二）偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,1.【二元函数在一点处的偏导数的定义】,【注意】,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z=f
2、(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或 y 偏导数存在,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,(2)【多元函数的偏导数】,例如 三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数定义为,(请自己写出),【解】,2.【偏导数的计算】,与一元函数的求导法则完全相同,【证】,原结论成立,【证完】,3.【有关偏导数的几点说明】,(1),(2),求分界点、不连续点处的偏导数,解,例如,先求后代,先代后求,用定义求,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,(3).【可偏导与连续的关系】,？,【解】,【例4
3、】,令 y=k x，,故点(0,0)处极限不存在,从而不连续,但(0,0)点偏导数按定义来求,得,同理 由自变量的轮换对称性得,故此 偏导数存在,连续.,与k 有关,【思考题】连续 偏导数存在.,？,举例说明（见小结之后思考题）,【结论】,(4).【偏导数的几何意义】,如图,(复习:反函数求导法则的几何意义),(4).【偏导数的几何意义】,二、高阶偏导数,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数,1.【高阶偏导数的定义】,【定义式】,其余类推,(2)同样可得：三阶、四阶、以及n 阶偏导数。,(3)定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,【解】,(1)【问题】,混合偏导数都相等吗？,2.【混合偏导数相
4、等的条件】,【补例】,【提示】,答:不一定相等,注意分段函数在分界点的偏导数要用定义求得.,说明(1)该定理条件是充分条件,不必要.(2)因为初等函数的偏导数一般仍为初等函数,而初等函 数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.,(2)【问题】,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,即如何使混合偏导数与求导次序无关?,偏导数的定义：,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,可偏导与连续的关系：,可偏导,连续,【思考题】,【思考题解答】,不能.,如,或用偏导数定义判断:,在 x=0 点显然不可导,
5、不存在,三、小结 思考题,一、全微分的定义,二、可微的条件,（三）全微分,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,2.【全增量的概念】,1.【偏增量与偏微分】,二元函数对x和对y的偏增量,二元函数对x和对y的偏微分,3.【全微分定义】,【定义】,简写为,【注】,(2)函数若在区域D内各点处处可微分,则称函数在D内可微分.,二、可微的条件,1.【必要条件】,【证】,事实上,因f(x,y)可微,故由可微定义得,总成立,同理可得,由此可见：可微 连续；可微 可偏导,故,一元函数：在某点 可导 可微,可导与可微的关系:,多元函数：各偏导数存在 全微分存在,？,【举例说明】,在点(0,0)处有,则,总结 可微分 可偏导,【结论】偏导数存在 全微分存在。,可见,函数偏导数存在弱于函数可微,但若再假定各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。,【警惕】若仅知偏导数存在,虽能从形式上写出,即各偏微分之和存在，但它不一定是函数的全微分.,故偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件。,2.【充分条件】,证（略）,(1)习惯上自变量的增量用微分表示：,(3)推广：三元及以上多元函数的可微性,如 u=f(x,y,z),