1、专题37 等时圆模型及应用拓展1、等时圆规律（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所示（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足：（R为圆的半径）图1 图22、规律的证明设有一条光滑弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d，如下图所示。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为s，所以运动时间为t0 。即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎
2、样处理此类问题呢？ 图3 图4例题如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系？一、单选题1.（2019泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下
3、落到M点.则（ ）A.a球最先到达M点B.b球最后到达M点C.c球最后到达M点D.b球和c球都可能最先到达M点2.（2017江西高安中学高三月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点。B点在y轴上且BMO=60，O为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（）A.tBtCtA B.tB=tCtA C.tA=tB=tC D.tBtA=tC3.（2018黑龙江实验
4、中学高三月考）如图，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，ACBCDC543，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为123，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为（ ）A.111 B.543 C.589 D.1234.（2019普宁市第二中学高三月考）如图所示，在倾角为=30的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向AC所成角度为，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则角的大小为（ ）A.=10 B.= 15 C.=30 D.=6
5、05.（2019全国高一专题练习）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（ ）A.t1t2B.t2t3C.t1t2D.t1t36.（2019安徽高三）如图所示，相同质量的物块从底边长相同、倾角不同的固定斜面最高处同时由静止释放且下滑到底端，下面说法正确的是（ ）A.若物块与斜面之间的动摩擦因数相同，倾角大的斜面上的物块损失的机械能大B.
6、若斜面光滑，两物块一定同时运动到斜面底端C.若斜面光滑，倾角大的斜面上的物块一定后运动到斜面底端D.若物块到达底面时的动能相同，物块与倾角大的斜面间的动摩擦因数大7.（2019河北辛集中学高三）如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60和30，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从 两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为1和2，则1：2为（ ）A.1:3B.3:1C.:1D.1: 8.（2019石家庄市复兴中学高三专题练习）如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦
7、.在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，到达a、b、c三点的时间（ ）A.最短的是a点 B.最短的是b点C.最长的是c点 D.时间都相同9.（2020河北衡水中学高三专题练习）如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（ ）A.21B.11C.1D.110.（2017辽宁省实验中学分校高二期末）倾角为30的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的
8、固定一长10m的直杆AO。A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）（ ）A.2s和2s B.和2s C.和4s D.4s和11.（2019上海市南洋模范中学高三期中）如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（ ）A.p小球先到B.q小球先到C.两小球同时到D.无法确定12.（2017山东高
9、三）游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示。甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（ ）A. B.C. D.13.（2020河北汇文二中高一期末）如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O的水平线已知一小球从M点出发，以初速沿管道MPN运动，到N点的速率为，所需的时间为；若该小球仍由M点以相同初速出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为，所需时间为则（ ）A.， B.， C.， D.，二、多选题14.（2018曲靖市第二中学高一期中）如图所示，在斜
10、面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系正确的是（ ）A.t1t2B.t1t3C.t2t4D.t2t415.（2017浙江高三月考）如图所示，圆柱形仓库内有三块长度不同的木板ao、bo、co，其下端都固定于底部圆心o，上端搁在仓库侧壁上，三块木板与水平面的夹角依次为，且。若有三个质量相同的小孩分别从a、b、c处滑下，设小孩与木板间动摩擦因数相同，则（ ）A.三种情况下摩擦力做功一样多B.沿co板下滑，摩擦力做功最多C.三种情况下重力做功一样多D.沿co板下滑的小孩到达o处速度最大