1、2018-11-271第五章第五章 定积分定积分第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第二节第二节 定积分的性质和中值定理定积分的性质和中值定理第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法第五节第五节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法第六节第六节 定积分的近似计算定积分的近似计算第七节第七节 广义积分广义积分 问题的提出问题的提出 定积分的定义定积分的定义 几何意义几何意义 定积分存在定理定积分存在定理第一节第一节 定积分的概念定积分的概念abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(x
2、fy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积
3、的关系2018-11-272观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann -个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1-ix1-nx;,11-iiii
4、ixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间形形面面积积，曲曲边边梯梯形形面面积积用用小小矩矩上上任任取取一一点点在在每每个个小小区区间间iiixx-,1iiixfA )(:)(,(1近近似似为为高高为为底底，以以iiifxx-（1）分割）分割（2）近似）近似iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为（3）求和）求和（4）取极限）取极限实例实例2 2 （求变速直线运动的
5、路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把：把整段时间分割成若干小段整段时间分割成若干小段，每小段上，每小段上速度看作不变，求出速度看作不变，求出各小段的路程各小段的路程再相加，便再相加，便得到得到路程的近似值路程的近似值，最后通过对时间的，最后通过对时间的无限细无限细分分过程求得路程的精确值过程求得路程的精确值2018-11-273（1）分割）分割212101TtttttTnn
6、-1-iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1（4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似）近似设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann -1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1-iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作作乘乘积
7、积iixf)(),2,1(i并作和并作和iinixfS )(1，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎样的分法，怎样的分法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx-上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和几点说明：几点说明：（1）定定积分积分是是一个一个数数值值，它它仅与
8、被积函数及积仅与被积函数及积分区间有关，分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.0)(,)()(2 -aaabbadxxfdxxfdxxf规规定定：）（.,)(,)(3的的取取法法无无关关的的分分法法及及的的和和式式的的极极限限与与所所表表示示上上可可积积，则则在在区区间间若若）（ibabadxxfbaxf ,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf-baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值abxyo)(xfy AxyoabA-)(xfy 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义1
9、A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba -,)(变号时变号时在区间在区间baxf三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义.)(是是面面积积的的代代数数和和 badxxf2018-11-274几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(-当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限
10、个个间间断断点点，则则)(xf在在四、定积分的存在定理四、定积分的存在定理区区间间,ba上上可可积积.例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小区间小区间,1iixx-的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx .,102的的选选取取无无关关及及法法故故和和式式极极限限与与区区间间的的分分可可积积因因为为idxx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iin
11、ix 210lim nnn121161lim.31 几何上是曲线几何上是曲线y=x2,直线直线x=1及及x轴围成的轴围成的曲边三角形面积曲边三角形面积.例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2,1中中插插入入分分点点 12,-nqqq,典型小区间为典型小区间为,1iiqq-，（ni,2,1）小小区区间间的的长长度度)1(11-qqqqxiiii,取取1-iiq，（ni,2,1）iinixf )(1 iniix 11)1(1111-qqqinii -niq1)1()1(-qn取取2 nq即即nq12),12(1-nn)12(lim1-xxxxxx112lim1-
12、,2ln)12(lim1-nnn,2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1-nnn.2ln iinixf )(1 2018-11-275原式原式 -nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 例例3：将下列和式极限表示成定积分：将下列和式极限表示成定积分.-nnnnnn )(sinsinsinlim121：五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限
13、取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限Z.思考思考nnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe 2：将和式极限，表示成定积分将和式极限，表示成定积分.-2222241241141limnnnnn证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分割
14、是将分割是将1,0n等分等分分点为分点为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因为因为)(xf在区间在区间1,0上连续，且上连续，且0)(xf所所以以)(lnxf在在1,0上上有有意意义义且且可可积积,2018-11-276 2：将和式极限，表示成定积分将和式极限，表示成定积分.-2222241241141limnnnnn -1021222222222411)(41lim)(41)2(41)1(411lim41241
15、141limdxxnninnnnnnnnnninnn解解第二节第二节 定积分的性质、中值定理定积分的性质、中值定理1.定积分性质定积分性质2.中值定理中值定理对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当当ba 时时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，-abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、定积分性质和中值定理一、定积分性质和中值定理证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 b
16、adxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()
17、(badxxf)(-cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）假设假设bca 性质性质3 32018-11-277dxba 1dxba ab-.则则0)(dxxfba.)(ba 证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)(xf，例例 1 1 比较积分值比较积分值dxex-20和和dxx-20的大小的大小.解解令令,)(xexfx-0,2-x
18、,0)(xf,0)(02-dxxexdxex-02,02dxx-于是于是dxex-20.20dxx-性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf,0)()(-xfxg,0)()(-dxxfxgba,0)()(-babadxxfdxxg于是于是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )(.)(ba 证证,)()()(xfxfxf -,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa -即即dxxfba)(dxxfba )(.说明：说明：可积性是显然的可积性是
19、显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论：的推论：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba-（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba-.)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31值值的的范范围围.解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxd
20、x .3sin31403 dxx2018-11-278例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin值值的的范范围围.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf-2)tan(cosxxxx-2,4 x,0)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,22)4(fM,2)2(fm,442 -ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，上的平均值上的平均值在在,)()(1baxfdxxfabba-则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf-.)(ba
21、 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式证证Mdxxfabmba-)(1)()()(abMdxxfabmba-由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ,)(1)(-badxxfabfdxxfba)()(abf-.)(ba 即即 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，1.积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为
22、)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。2.积分中值公式的注释：积分中值公式的注释：。积积分分中中值值定定理理中中的的，微微分分中中值值定定理理中中的的,baba 例例 4 4 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx，求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf-dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 2018-11-279例例 5 5 求求dxexnnxn -122lim.方法方法1：利用积分中值定理：利用积分中值定理方法方
23、法2：利用估值定理以及夹逼准则：利用估值定理以及夹逼准则22222)1(2)1(nxnenexen-12121)1(2222)1(nnnnnxnnndxendxexdxen0)(lim)1(lim222)1(2 -nnnnenen如果函数如果函数)(xf,g(x),g(x)在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，性质性质8 8（广义的积分中值定理）（广义的积分中值定理）,)(上上不不变变号号在在baxg babadxxgfdxxgxf)()()()(101lim1lim6010 adxxxdxxxannnn求极限求极限例例方法方法
24、2 2：由广义积分中值定理：由广义积分中值定理方法方法1：利用积分中值定理：利用积分中值定理。与与合合理理选选择择)()(xgxf这个例子最好放在第三节后面，因为还学生不会计算定积分这个例子最好放在第三节后面，因为还学生不会计算定积分定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分（）不计算定积分比较积分大小比较积分大小二、小结二、小结思考思考 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba
25、上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？Z 解答解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1,0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1,0上都不可积。上都不可积。例例2018-11-2710第三节第三节 微积分的基本公式微积分的基本公式1.问题的提出问题的提出 2.变上限定积分变上限定积分3.定积分与原函数
26、的关系定积分与原函数的关系 本节通过函数本节通过函数微分微分与与积分积分之间的关系，之间的关系，找到找到定积分定积分与与不定积分不定积分之间的关系，解决之间的关系，解决定积分的计算问题，为定积分计算提供了定积分的计算问题，为定积分计算提供了一般的计算方法。一般的计算方法。变速直线运动中位移函数与速度函数的联系变速直线运动中位移函数与速度函数的联系 21)(TTdttv 设质点作直线运动，已知速度设质点作直线运动，已知速度)(tvv 是时间间是时间间隔隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，则质，则质点在这段时间内所走过的路程点在这段时间内所走过的路程另一方面这段路程可
27、表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs-一、问题的提出一、问题的提出).()(tvts ).()()(1221TsTsdttvTT-从物理上得出从物理上得出：由导数可知：由导数可知：这一事实启发我们考虑：这一事实启发我们考虑：若函数若函数f(x)f(x)可积，可积，F F (x)=f(x)(x)=f(x)，是否有，是否有).()()(aFbFdxxfba-设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点，xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区
28、区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数定理定理 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导上具有导数，且它的导数是数是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质0)()()1(aadttfa 2)()()2(2xadttfx2018-11-2711ab xyoxx 证证dttfxxxxa
29、 )()()()(xxx-dttfdttfxaxxa -)()()(x xdttfdttfdttfxaxxxxa -)()()(,)(xxxdttf 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx 00()limlim()xxxfx ).()(xfx abxyoxx )(x x()f x 补充补充 )()()()(xaxafxbxbf-证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa-)()()()()(xaxafxbxbfxF-)()()()(xbxadttfdxdxF重要重要练习：练习：dttdxdx 2021)1(
30、dttdxdxx 23411)2(答案答案：412)1(xx 12281312)2(xxxx-例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx-解解-1cos2xtdtedxd,cos12-xtdtedxd)(cos2cos -xex,sin2cos xex-21cos02limxdtextx-xexxx2sinlim2cos0-.21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 3 3 设设)(xf在在 1,0上连续，且上连续，且1)(xf.证明证明 1)(20-dttfxx在在 1,0上只有一个解上只有一个解.证证,1)(2)(0-dttfxxF
31、x,0)(2)(-xfxF,1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(-F-10)(1)1(dttfF-10)(1 dttf,0 所所以以0)(xF即即原原方方程程在在 1,0上上只只有有一一个个解解.令令2018-11-2712定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分
32、与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba-.三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.求求定积分问题定积分问题转化为求转化为求原函数原函数的问题的问题.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba-仍
33、成立仍成立.定理证明概要定理证明概要).()()(),(,)()(.)()(,)()()(aFdxxfbFaFCCdxxfaFCdxxfxFxfdxxfxFbaaaxaxa 故故得得由由所以所以的原函数的原函数都是都是和和例例4 4 求求 .)1sincos2(20 -dxxx原式原式 20cossin2 xxx-.23-例例5 5 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式.6 xyo12例例6 6 求求 .,max222-dxxx解解由
34、图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222 -xxxxxx -21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122-例例7 7 求求 解解.112dxx-当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx-121 12|ln-x.2ln2ln1ln-例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在,0 上上与与 x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积xyo 0sinxdxA -0cosx.2 2018-11-2713思考思考 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa)(与与duufbx)(是是x的
35、的函函数数还还是是 t 与与 u 的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？Z 解答解答dttfxa)(与与duufbx)(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx-322cos1.1 dxx求求 -323002sin)sin(|sin|dxxdtxdxxI解解2/3|)cos(|cos3/002/-xx备用习题：备用习题：3.设设f(x)是是a,+）上的连续单调增函数）上的连续单调增函数,求证：求证：dttfaxxFxa)(1)(-在在a,+）上也是单调增函数。）上也是单调增函数。证：证：F(x)在在(a,+)内
36、连续，而在内连续，而在x=a处处)()(lim)(limafaxdttfxFxaaxax-2)()()()()()(axaxdttftfaxxFxaxa-令令F(a)=f(a)则则F(x)在在a,+)上连续上连续2)()()()(axdttfxfaxxa-2)()()()(axaxfxfax-axfxf-)()(a x，f(x)x-a0,F(x)0;故故F(x)在在a,+）上）上.第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法2018-11-2714定理定理 假设假设（1 1）)(xf在在,ba上连续；上连续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3
37、）当）当t在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.一、换元公式一、换元公式证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba-),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()(-dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a)(、b)(,)()(-)()(FF-),()(aFbF-)()()(aFbFdxxfba-)()(-.)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成
38、成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）(2)求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必还还原原成成变变量量x的的函函数数，只只要要把把 t 的的上上、下下限限 分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.用用)(tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量 t 时，时，积分限积分限也相应的改变也相应的改变.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（4）定积分换元法可以用来证明积分等式，定积分换元法可以用来证明积分等式，关键在于关键在于)(tx 的构造。这与的构造。这与积分的上下限积分的上下限以及以及被积函数的形式被积函数的形式有关。有关。例
39、例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx-015dtt1066t.61,sin xdxdt-换元换元要换限要换限 凑元凑元不换限不换限2018-11-2715例例2 2 计算计算解解.sinsin053 -dxxxxxxf53sinsin)(-23sincosxx -053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx -223sincosdxxx 2023sinsinxdx -223sinsinxdx 2025sin52 x -225sin52x.54 -2/053sinsi
40、ndxxx令令:x=-t,sinsin22/053 -dxxx21,sin:ududxux-令令545421210102/310253 -uduuuduuu -2/53sinsindxxx.sinsin053 -dxxx例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43-eexxxdx原式原式-43)ln1(ln)(lneexxxd-43)ln1(ln)(lneexxxd-432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 解解 令令,xt 则则,2,2tdtdxtx 21)1(2ttdt原式原式21)1ln(ln2tt-dttt)111(221 -34ln2 解解:令令154)
41、42(4210-dttttdtdxtxxt2,1,12-41)1(xxdx例例4 1)4 1)计算计算dxxx-110例例4 2)4 2)计算计算02112()()ttt dt-原式例例5 5 计算计算解解 -aadxxax022)0(.1令令20,sin ttaxax ,2 t0 x,0 t,costdtadx 原式原式 -2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt -20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 6 6 当当)(xf在在,aa-上连续，则上连续，则(1)(1)-aaadxxfxfdxx
42、f0)()()(2)(2)(xf为偶函数，则为偶函数，则 -aaadxxfdxxf0)(2)(；(3)(3)(xf为奇函数，则为奇函数，则-aadxxf0)(.2018-11-2716证证,)()()(00 -aaaadxxfdxxfdxxf在在-0)(adxxf中中令令tx-,-0)(adxxf -0)(adttf,)(0-adttf-0)(adxxf -0)(adttf,)(0-adttf)(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf-aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf-aaaadxxfdxxfdxx
43、f00)()()(.0 奇函数奇函数例例7 7 计算计算解解.11cos21122-dxxxxx原式原式-1122112dxxx-11211cosdxxxx偶函数偶函数-1022114dxxx-10222)1(1)11(4dxxxx-102)11(4dxx-102144dxx.4-单位圆的面积单位圆的面积ttcos2sin -20)(sindxxf -022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx-,dtdx-0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf -0)sin()(dttft,)(sin)(0 -dttft证证（1）设）设tx-2,dtdx-0
44、 x,2 t2 x,0 t 0)(sindttf -0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 -dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx -02)(coscos112xdx -0)arctan(cos2x.42 )44(2-0)(sindxxxf2018-11-2717几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(二、小结二、小结思考题思考题指指出出求求-2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的
45、的解解法法.解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx -2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 Z 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx -正确解法是正确解法是-2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt -4332.12-23231031)1(13)1()()(3xxfxxfxdttfx-121231)7(2 f71:3-x令令解得解得x=2,所以所以解解1、设、设f(x)是连续函数，且是连续函数
46、，且,)(103xdttfx -.?)7(f则则备用习题：备用习题：,21010 xdIxdx dxxf)(102、设、设f(x)是连续函数，且是连续函数，且,)(2)(10dttfxxf 求求 f(x),)(10Idttf 解解1:设设于是于是,2)(Ixxf 两边在两边在0，1上积分上积分21,221:-III即即.1)(-xxf3、计算定积分、计算定积分dxexxx|22)|(-解解:为奇函数为奇函数|xxe-为偶函数为偶函数|xex-原式原式=dxexx-20220|)22(xxexe-262e-2018-11-27184、设设求求dxxf)2(31-解解 令令,2tx-原式原式=dt
47、tf)(11-dtedttt -10201)1(e137-dttxfdxddttftxdxdxfx)()2()()()1()(521022-为连续函数，求为连续函数，求、设、设dttfxx)(220)1()2(xfxf-2100,(),xxxf xex-dsdIdtdIdxdIdxxtftIxfts求求为连续函数，为连续函数，、设、设,)()(60 )(00sfdsdIdtdIdxdI sstsduufdutuftdxxtftuxt000)(1)()(,:关键在于换元关键在于换元sutsx007、证明、证明xdxxaxfxdxxaxfaa)()(212221 证：设证：设tx 2,21dtxd
48、x 则则211atax左式左式tdttatfxxdxxaxfaa)(21)(21222212 tdttatftdttatfaaa)()(212212duuadt22-uduuaufuaduuauuafIaa)()(2122221 -xdttatfa)(21 )(221)(212221tdttatfxdxxaxfaa xdxxaxfa)(21 对对tdttatfaa)(22 令令tau2 12auaat第五节第五节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则 -bababadxuvuvdxvu,或或 -bababavd
49、uuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .-bababavduuvudv或或一、分部积分公式一、分部积分公式 ,dxvuuvdxvubababa -2018-11-2719例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdxv ,12xdxdu-,xv 210arcsinxdx 210arcsinxx -21021xxdx621 )1(112120221xdx-12 21021x-.12312-则则例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos
50、22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 -40secln218-x.42ln8-例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx -1021)1ln(xdx102)1ln(-xx 10)1ln(21xdx32ln-dxxx 101121xx-2111 10)2ln()1ln(32lnxx-.3ln2ln35-例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法