1、不等式的基本性质考点总体描述：不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用.在中考中多以填空题或选择题的形式出现.维度1 不等式基本性质研读不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，即如果ab，那么a+cb+c（或a-cb-c）.不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果a0，那么acbc(或 )不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据. 如果ab，且cbc(或 )例1：设ab
2、，用不等号连结下列各题中的两式：（1）a-3与b-3；（2）2a与2b；（3）-a与-b.思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择变形依据作答.解答过程：（1）因为ab，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3b-3；（2）因为ab，20，由不等式的基本性质2，得2a2b；（3）因为ab，-10，由不等式的基本性质3，得-a-b.本例题总结：处理这类问题的一般思路是以不等式的性质作为依据，确定合适的不等号，要特别注意的是不等式基本性质3的应用.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2： 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成xa
3、或xa的形式：（1）x-23；（2）6x5x-1；（3）-4x4思路分析：第1步：根据变形要求选用不等式的基本性质；第2步:根据性质变形.解答过程：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+23+2，即x5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去5x，不等号的方向不变，所以6x-5x5x-1-5x，即x-1；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以4，不等号的方向改变，所以x-1本例题总结：运用不等式的基本性质时，注意不等号方向的是否改变关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1.（2009年柳州）若ab，则下列各式中一定成立的
4、是（ ）A. a-1b-1 B. C. -a-b D. acbc思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择合适的变形方式作答.解答过程：在不等式三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变”.由不等式基本性质2，不等式两边同除以3，B选择项的不等号方向不变；C选项不等式两边同乘-1，不等号方向要改变；D选择项c可取任意实数故不等号方向无法确定；A选项因为ab，由不等式基本性质1得a-1b-1，故选A. 答案：A2. 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立并说明是根据哪一条不等式基本性质（1）若a-39，则
5、a_12； （2）若-a10，则a_-10；（3）若a-1，则a_-4； （4）若-a0，则a_0解析：根据前后两个式子之间的关系，对照不等式的基本性质加以变形.答案：（1）a12，根据不等式基本性质1； （2）a-10，根据不等式基本性质3；（3）a-4，根据不等式基本性质2； （4）a0，根据不等式基本性质3维度2 不等式的基本性质与等式的性质对比不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一.下面将不等式的基本性质与等式的性质的比较，用下
6、表表示出来.等 式不 等 式两边都加上（或减去）同一个数或同一整式，所得结果仍是等式.两边都加上（或减去）同一个数或同一整式，不等号的方向不变两边都乘（或除以）同一数（除数不能是0），所得结果仍是等式.两边都乘（或除以）同一正数，不等号的方向不变两边都乘（或除以）同一个负数，不等式方向改变例1： 若ab，c0，则下列四个不等式成立的是（）A.acbc B. C.acbc D. a|c|a|c|思路分析：第1步：比较已知不等关系与选项中的不等关系；第2步：确定变形方法是否符合法则.解答过程：根据不等式的性质1，在不等式ab的两边同时减去，不等号的方向不变，故C错误；根据不等式的性质2，在不等式a
7、b的两边同时乘以正数|c|，不等号的方向不变，故D错误；根据不等式的性质3，在不等式ab的两边同时乘以或除以负数c，不等号的方向要改变，故A是错误的；故选B本例题总结：本题主要考查不等式的三条基本性质，运用不等式基本性质时，关注不等号方向的“不变”与“改变”是关键关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2：已知-2x+3y=3x-2y+1，试比较x和y的大小关系.析解：要比较x和y的大小关系，只需利用等式变形求出(x-y)的值，再根据其正负判断大小。.由等式的性质1，在等式的两边都减去(3x-2y)，即-2x+3y-(3x-2y)=1，整理，得-5x-5y=1，再由等式的性质2，两边同时
8、除以5，得x-y=-，因为，所以x-y0，即xy.本例题总结：本题依据等式性质比较大小.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1. 下列变形若3x-1=2x+1，则x=0；若ac=bc，则a=b；若a=b，则； 若，则y=x.正确的有 .解析：方程两边减2x，化简，得x-1=1，两边再加1，可得x=2，故错误；中两边需要同时除以c，得a=b，但不能保证c不等于0，故错误；，因为不能保证同时除以的数c不为0；答案：.2. 已知1-3a1-3b，则ab（填“”、“”或“”）解析：先根据不等式的性质，在不等式1-3a1-3b的两边同时减去1，不等号的方向不变，得-3a-3b，再根据不
9、等式的性质3，在不等式的两边同时除以-3，不等号的方向要改变，得ab答案：.维度3 不等式的基本性质巧用例1：如果ab0， 试用“”“b0知：ab，b0根据不等式性质2，在不等式ab的两边同时乘以同一个正数a，不等号方向不变，所以abb2(2)由ab0知，根据不等式性质3，在不等式本例题总结：第（2）小题也可先根据不等式性质3，在不等式ab两边都乘（或除以）1，不等号的方向改变得ab0时，两边同时加上a，得2aa，即a2a；当a=0时，a=2a；当ab，则ac与bc之间的大小关系解析：由于c的符号没有确定，故应该分类讨论当c0时，根据不等式的性质2，“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号
10、的方向不变”得acbc当c=0时，ac=0，bc=0此时ac=bc当c0时，根据不等式的性质3，“不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”得ac0时，acbc；当c=0时，ac=bc；当c0时，acbc2. 已知关于的不等式（a）3的解集是，那么a的取值范围是（）A.a0 B.a0 C.a D.a解析：根据不等式基本性质3，两边同时除以一个负数（1-a）不等号改变方向，所以1-a0，即a1.答案：C维度4 不等式的基本性质应用例析例1：已知，若有aa，那么a应满足的条件是（）A.a0 B.a0 C.a0 D.a0思路分析：第1步：观察两个不等式的形式以及不等号方向的变化情况；第2
11、步：确定题中运用了不等式的哪条基本性质.解答过程：由不等式的两边同时乘以a得到aa，不等号的方向改变了，说明利用了不等式的性质3，因此a故选D本例题总结：本题主要考查不等式的基本性质，应用不等式性质3时要改变不等号的方向关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成xa或xa的形式：(1)x38； (2)3x2x4；（3）-8x5；（4）x-3思路分析：第1步：根据不等式的性质将不等式化成左边是含未知数的项，右边是常数项；第2步：根据不等式性质两边同时乘或除以一个数，将不等式化为xa或xa的形式.解答过程：（1）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上
12、3，不等号的方向不变，所以x3383 ，即x11；（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去2x，不等号的方向不变，所以3x2x2x42x ，即x4；（3）根据不等式基本性质3，不等式的两边都除以8，不等号的方向改变，所以 -，即x-；（4）根据不等式基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以 x2-32，即x-6.本例题总结：本题考查根据不等式的性质解不等式，一定要注意不等式基本性质3的运用，不等式的两边都除以(或乘以)同一个负数，不等号的方向改变关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例3：已知ab，求c是哪些数时，(1)acbc；(2)acbc；(3)ac=bc思路
13、分析：第1步：根据不等式的基本性质，与ab对比；第2步，确定c符号.解答过程：(1)的不等号方向不变，所以c0(2)的不等号方向改变，所以c0；(3)是等号，所以c=0本例题总结：解答这类问题的关键是正确理解不等式的基本性质，并根据性质做出判断.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1.用不等号填空：(1)若ab，则2a_b2； (2)若ab，则5a1_5b1；（3）若-x7，则x -2； (4)若ab，c0，则bc_ac；(5)若ab，则ac2_bc2解析：由已知条件不等式，根据哪条性质变形得到所求式子的两边答案： (1)；(2)；(3)；(4)；(5).2. 比较大小：2c
14、与3c.解析：本题有两种思路，其一，可作差，根据差的正、负、零确定大小关系如3c2c=c，再由c的情况来比较其二，根据不等式的性质，由23，依据c的情况确定2c与3c的大小答案： c0时，2c3c，c=0时，2c=3c，c0时，2c3c维度6 不等式基本性质实际应用例1: (2008年永州)如图，a、b、c分别表示一个苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）Aacb BbacCabc Dcab思路分析：第1步：观察图形列出不等式；第2步：根据不等式基本性质对不等式加以变形.解答过程：由左图知3b2a，则a，所以ab.由右图知2cb，则bc.于是abc.故选C.本例题总结：
15、根据题中所给出的图形信息，仔细观察、分析，得出各个量间的初步关系，再灵活运用不等式的基本性质，则可判断出它们间的大小关系.例2：某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）A .xyc.xyD.xy思路分析：第1步：根据题意列不等式；第2步：根据不等式的基本性质加以变形.解答过程：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是，以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则，解得，xy，故选B本例题总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内
16、容说明：随讲随练：1. （2008年广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（） （1） （2） （3）A. PRSQ B. QSPR C.SPQR D. SPRQ 解析：由图（1）可知SP，由图（2）可知PR，由图（3）可知P+RQ+S，根据不等式的性质可知RQ+S-P,结合图（1）中的结论可知S-P0，所以RQ，所以SPRQ.答案：D2. 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）Aab B.ab Ca=b D.与a和b的大小无关解析：
17、利润=总售价-总成本=5-（3a+2b）=0.5b-0.5a，赔钱了说明利润0，0.5b-0.5a0，ab.答案：A维度7 不等式基本性质考点例析例1：（2011年四川凉山州）下列不等式变形正确的是（ ）A由ab，得acbc B由ab，得-2a-2bC由ab，得-a-b D由ab，得a-2b-2思路分析：根据不等式的性质判断即可.解答过程：A：由ab，当c0时，得acbc，当c0时，得acbc，故选项错误；B：由ab，得-2a-2b，故选项正确；C：由ab，得 -a-b， 故选项错误；D：由ab，得a-2b-2，故选项错误故选B.本例题总结：运用不等式的基本性质3时，要注意不等号的方向是变还是
18、不变.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1.（2011年深圳）已知a、b、c均为实数，若ab，c0，下列结论不一定正确的是( )A. a+cb+c B.c-ac-b C. D.a2abb2解析：A、B、C都正确，D选项不正确，例如a=-1，b=-2时不成立.答案：D2. 如果xy0，那么，下列结论中错误的是（ ）A .x9y9 B.-xy C. D.1解析：选A是认为不等式两边也出现了负号，所以，不等号应反向；选择B是认为x、y均为负数，再乘以1应是正数，不等号不应该改变方向；而选择D是忽视了xy0的条件，只看到了xy.避免这类错误出现，应真正理解不等式的基本性质和注意已知
19、条件的运用答案：C维度8 不等式基本性质常见错例例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）若ab，则ac2bc2； （2）若axc，则； （3）若a-ba，则b0； （4）若ab0，则a0，b0.错解：（1）因为c20，所以ac2bc2正确；（2）不等式两边同除以a，得x，所以正确；（3）不等式两边同时减去a，再同乘以1，得b0，所以正确；（4）根据“同号相乘得正”的法则可知（4）正确.错因分析：上述解答的错因主要是对不等式的基本性质理解不清，或者是对问题所涉及的范围没有考虑全面.正解：（1）不正确.当c=0时，ac2=bc2，即：若ab，则ac2bc2正确.此处还应注意：若ac2bc2，
20、则ab正确，因为这里隐含了c0这一条件.（2）不正确.因为若a0，则要改变不等号的方向，此时x；若a=0，则不等式两边不能同除以a.（3）不正确.因为根据不等式的基本性质1，不等式两边都减去a，得-b0，再根据不等式的基本性质3，不等式两边同乘以1，不等号的方向改变，即b0.（4）不正确.因为a、b同号，包括a、b都是正数或都是负数两种情况.即若ab0，则a0，b0或a0，b0.本例题总结：利用不等式的性质解题时，要注意不等号的方向是否改变，分清同乘以（或除以）的那个数（尤其是用字母表示的数）的符号特征.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2:将不等式32x7化成“xa”或“x73，
21、即2x4.两边都除以2，得x2.错因分析:错因是将不等式2x4的两边同除以2时，不等号方向没有改变.事实上，运用不等式的基本性质3，将不等式的两边都除以同一个负数时，不等号方向必须改变，对此应予以足够重视.正解:不等式两边都减去3，得2x4.两边都除以2，得x0 B. x-30 C. x-30 D. x-30思路分析：第1步：根据绝对值的意义确定x-3的范围；第2步：做出选择.解答过程：方法一：绝对值等于它本身的数是非负数，所以x-3是非负数，即x -30.方法二：根据绝对值的意义，任何数的绝对值都是非负数，从结果入手直接得出x -30.本例题总结： 本题将绝对值问题与不等问题巧妙组合，考查综
22、合运用知识解决问题的能力关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例3：（2011年黑龙江大庆）若a+b0，且b0，则a，b，-a，-b的大小关系为（ ）A. -a-bba B. -ab-baC. -aba-b D. b-a-ba思路分析：第1步：根据将a，b，-a，-b在数轴上表示出来；第2步：根据数轴上点的分布规律作答.解答过程：由a+b0，且b0可知a0，且ab，在数轴上表示a，b，-a，-b为：-bb-aa0数轴上左边的数小于右边的数，所以-ab-ba.故选B.本例题总结：此类题首先确定a、b的符号和绝对值的大小关系，再根据相反数的几何意义在数轴上表示出来，利用数轴比较大小.也可举具
23、体数进行比较.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1. (2011年山东淄博)若ab，则下列不等式成立的是（ ）Aa-3b-3 B-2a-2b CDab-1解析：可以用排除法由不等式的性质知，A、B、C都是错误的故选D答案：D2. （2010年四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ）A由ab，得a2b2 B由ab，得2a2b C由ab，得 D由ab，得a2b2解析：由本题考查了利用不等式的性质进行不等式变形A选项，不等式两边都减去2，不等号不改变，所以错误；B选项不等式两边同时乘以(2)，不等号的方向改变，所以正确答案：B维度13 思想方法一、分类思想例1：比较a+b与a-b的
24、大小思路分析：第1步：作差；第2步：分情况讨论.解答过程：（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b.当b0时，2b0，得到a+ba-b，当b=0时，2b=0，得到a+b=a-b，当b0时，2b0，得到a+ba-b.本例题总结：差值与0的大小不能确定时，原被减式与减式出现大于、等于、小于三种关系，解决这类问题时只能分类讨论，不能随意下结论.分类讨论时，只讨论影响差值与0关系的字母或代数式的变化情况，对差值结果没有影响的字母a或代数式就不必讨论.如本题中对差值没有影响，故不考虑.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：二、化归思想例2：如果不等式（a-2）xa-2的解集是x1，求a的取值范
25、围思路分析：第1步：比较解集和不等式的不等号；第2步：确定（a-2）的符号.解答过程：由（a-2）xa-2得到x1，是将原不等式两边都除以a-2，又因为x1中不等号方向与（a-1）xa-1中不等号的方向相反，可判定a-10，进而求出a的取值范围为a2.本例题总结：关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1.2a与3a的大小关系（）A2a3a B.2a3a C.2a=3a D.不能确定解析：当a0时，2a3a；当a0时，2a3a；当a=0时，2a=3a；所以在没有确定a的值时，2a与3a的大小关系不能确定答案：D分析：说明:不等式变形过程中，不等号的方向改变，说明未知数的系数是负数
26、.本题就是将已知条件转化为a-10.2.若0a1，则下列四个不等式中正确的是（ ）A.a1 B.a1 C. a1 D.10，由性质2，若0a1，则都除以正数a，得01，又由于a1，从而a1b，则a2b2”.若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出以下四种改法：（1）“a、b是实数，若ab0，则a2b2”；（2）“a、b是实数，若ab且a+b0，则a2b2”；（3）“a、b是实数，若abb2”；（4）“a、b是实数，若ab且a+b0，则a2b2”；其中，真命题的个数是（ ）。A 1个 B 2个 C 3个 D 4个思路分析：第1步：根据条件依据不等式基本性质对照结论加以变形；第2步：做出
27、判断.解答过程：对于（1） ab0 a+b0 a-b0 (a+b)(a-b)0 a2-b20 即 a2b2 故（1）是真命题.对于（2） ab a-b0 a+b0 (a+b)(a-b)0 a2-b20 即 a2b2 故（2）是真命题.对于（3） ab0 a-b0 a+b0 (a+b)(a-b)0 a2-b20 即 a2b2 故（3）是真命题.对于（4） ab a-b0 又 a+b0 (a+b)(a-b)0 a2-b20 即 a2b2 故（4）是真命题.本例题总结：这是一道条件开放型试题.由于原命题是一个假命题，因此，需要考生在原命题的题设上再附加约束条件，变假命题为真命题。考题已给出了四种改法
28、去辨别，这时，可逐一进行推断. 这类选择题也可以用特殊值来代入检验.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：探索问题：（1）请你任意写出5个正的真分数：_，_，_，_，_，给每个分数的分子、分母同加一个正数得到五个新分数：_，_，_，_，_（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得，则两个分数的大小关系是_（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：_（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题，请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论
29、相关的例子解析：（1）小于1的数叫真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据所给实例判断即可；（5）利用相关规律解决问题即可答案：（1）答案不唯一，略；（2）；（3）给一个正的真分数的分子分母同加一个这个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）如下图所示，由，得，可推出；（5）数学问题举例：若是假分数，会有怎样的结论？答：；，不是正数，或不全为正数，情况如何？生活问题举例：一杯克糖水，内含糖克，糖水浓度=（），若再往杯中加克水，糖水的浓度是，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了建筑学规定：民用住宅的窗户必须小于地板面积但按采光标准，窗户的面积和地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，根据（4）的结论住宅的采光条件将会变好（只要提出与此结论相关的问题即可）