1、学海在线资源中心 函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.【知识网络】函数的最值与值域函数的值域函数的最大值函数的最小值【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值注意：下面定义错在哪里？应怎样订正如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值2.最小值的定义同学们自己给出考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数
2、的函数，要特别注意自变量的取值范围2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求常用的换元有三角代换，整体代换4.不等式法：利用均值不等式求最值5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；(2)一些能转化为最值问题的问题:在区间D上恒成立函数在区间D上恒成立函数在区间D上存在实数使函数在区间D上存在
3、实数使函数【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值例1.求函数的最值【解析】 令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式举一反三：【变式】求函数的值域解：平方再开方，得类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值例2. 求下列函数值域：(1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3； 1)x-1，1； 2)x-2，2.【解析】 (1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在5，10上单增，；2)；(2)画出草图1)yf(1)，f(-1)即2，6；2).举一反三
4、：【变式】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x1，3时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在1，3上单调递增x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值x1，3时f(x)的值域为.类型三、含参类函数的最值与值域问题例3.（2015 保定模拟）若函数在区间上的值域为，则 . 【答案】4【解析】记为奇函数，函数图像关于原点对称.函数在区间上的最大值记为a,(a0),则函数在区间上的最小值为-a即即故选D.举一反三：【变式】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.【解析】单调递减且值域(0
5、,1，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）A B C D【答案】【解析】令，则，举一反三：【变式】设函数则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】， .类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用例5. （2016 全国新课标）()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【解析】（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以()由（）知，单调递增，对任意因此。存在唯一，使得，即，当时，单调递减；当时，单调递增
6、。因此在处取得最小值，最小值为于是由单调递增，所以，由得，因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数（为常数，是自然对数的底数）.(I)当时，求函数的单调区间；(II)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【解析】(I) 的定义域为，当时，令则，当时，单调递减.当时，单调递增.的单调递减区间为，的单调递增区间为.(II)由(I)知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点.当时，设函数.当时
7、，当时，单调递增，故在内不存在两个极值点.当时，得： 时，函数单调递减,时，函数单调递增,的最小值为函数在内存在两个极值点解得综上所述函数在内存在两个极值点时，的取值范围为：.类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用例6.设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.【解析】（I）依题意得，即.当时，;当时，.所以.（II）由（I）得，故.因此，使得成立的必须满足，即,故满足要求的最小整数为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问
8、题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x2+anxn(nN*)，且a1，a2，a3，an构成数列an，又f(1)=n2（1）求数列an的通项公式；（2）求证：【解析】（1）由题意：f(1)=a1+a2+an=n2，(nN*)n=1时，a1=1n2时，an=(a1+a2+an)-(a1+a2+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1对nN*总有an=2n-1,即数列an的通项公式为an=2n-1.(2)【变式2】已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：【解析】（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立【另解】设，则，当时，；当时，
9、当时，取得最大值原不等式成立由（）知，对任意的，有 令，则，原不等式成立类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（tR）记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）A9，10，11 B9，10，12 C9，11，12 D10，11，12【解析】当t0时，直线AD的方程为，分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点，。此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，故此时N（t）=12；当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点，此时N（t）=11。同理可得当时，N（t）=12；当时，N（t）=11。综上得 ，其中kZ）。故选C。【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）A1 B C D【答案】D 如图，令，易知时，；时，。于是可判断当时，|MN|取得小值。