1、学海在线资源中心 等差数列【考纲要求】1理解等差数列概念. 2能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3了解等差数列与一次函数的关系. 4灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.5掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】等差数列等差中项等差数列的通项公式及应用等差数列定义【考点梳理】【高清课堂：等差数列382420 知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫
2、做等差数列的公差.要点诠释：(1)为等差数列(nN)=d (n2, nN)（ d为常数）(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为(3)证数列是等差数列的方法： (n2) （ d为常数）； 为和的等差中项。考点二、通项公式(归纳法和迭加法) 要点诠释：为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)式中、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。公式特征：等差数列中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，当k=d0时，为递增数列；当k=d0时，为递减数列
3、；当k=d=0时，为常数列。考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：、成等差数列，则；（2）通项公式的推广：（3）若，则；特别，若，则（4）等差数列中，若.【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质例1. （1）20是不是等差数列0，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（2）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）由题意可知：,，此数列的通项公式为：,令,解得，所以20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：,. 此数列通项公
4、式为：（,）.令,解得：, 100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2的第21项【解析】由，.【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【解析】， ， ，中有14个元素符合条件，又满足条件的数7，14，21，98成等差数列，即， .例2、已知等差数列中，,，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。【解析】法一：由通项公式，得
5、 ， , 由，解得.217是此数列的第61项。法二：由等差数列性质得，即, 又， , 得.217是此数列的第61项。法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， 点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上， ，得。217是此数列的第61项。【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。举一反三：【变式1】等差数列中，已知，a2+a5=4，an=33，则n是（ ）A.48 B.49 C.50 D.51【答案】C；【解析】由已知得例3若数列为等差数列，, , 求； 【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则 即
6、 解之有：， .法二：, , 90=10+30d , .法三：为等差数列，, , ,(nN). 解之有 ， .法四：为等差数列， 、,为等差数列， ， 又， .【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。举一反三：【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求； 【解析】为等差数列 又 、是方程的根或（舍去）以下解法同例2（1）得类型二：等差数列的判断与证明【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】例4设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，
7、所以应该从前n项和的思路着手考虑。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN*)an是等差数列; (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列; (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(nN*)an是等差数列; (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(nN*)an是等差数列.举一反三：【变式】已知数列an，anN*，Sn =，求证：an是等差数列；【答案】an+1 = Sn+1Sn,8an+1 =,，anN*，即，数列an是等差数列.例5设an是等差数列,证明以bn=(nN*)为通项公式的数列bn是等差数列.【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。证法一:设等差数列an的公差是d(常数),当n2时，=-= = = = (常数)bn是等差数列.证法二:等差数列an的前n项和, bn= bn是等差数列.