1、第5讲数列的综合应用基础题组练1(2023年开封市定位考试)等比数列an的前n项和为Sn，若a34S20，则公比q()A1B1C2 D2解析：选C.法一：因为a34S20，所以a1q24a14a1q0，因为a10，所以q24q40，所以q2，故选C.法二：因为a34S20，所以a2q4a20，因为a20，所以q40，即(q2)20，所以q2，故选C.2(2023年宁夏银川一中一模)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，其前n项和为Sn，且b7a7，则S13()A26 B52C78 D104解析：选B.设等比数列an的公比为q，因为a3a114a7，所以a4a70，解得a7
2、4，因为数列bn是等差数列，且b7a7，所以S1313b713a752.故选B.3(2023年吉林长春5月联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，a6和a8是函数f(x)ln xx28x的极值点，则S8()A38 B38C17 D17解析：选A.因为f(x)ln xx28x，所以f(x)x8，令f(x)0，解得x或x.又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d0，所以a6，a8，所以解得所以S88a1d38，故选A.4设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D
3、2n(n4)解析：选A.由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)n(2n3)5(2023年山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被2除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 019项的和为()A672 B673C1 346 D2 019解析：选C.由于an是数列1，1，2，3，5，8，13，21，3
4、4，55，各项除以2的余数，故an为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，所以an是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1102.因为2 0196733，所以数列an的前2 019项的和为67321 346.故选C.6(2023年高考北京卷)设等差数列an的前n项和为Sn.若a23，S510，则a5 ，Sn的最小值为 解析：设等差数列an的公差为d，因为即所以可得所以a5a14d0，因为Snna1d(n29n)，所以当n4或n5时，Sn取得最小值，最小值为10.答案：0107若数列an满足0，则称an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b31，则b6b7b8 解析：由
5、0可得an1an，故an是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，则bn是公比为2的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532.答案：328(2023年河北石家庄4月模拟)数列an的前n项和为Sn，定义an的“优值”为Hn，现已知an的“优值”Hn2n，则Sn 解析：由Hn2n，得a12a22n1ann2n，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n1，由得2n1ann2n(n1)2n1(n1)2n1，即ann1(n2)，当n1时，a12也满足式子ann1，所以数列an的通项公式为ann1，所以Sn.答案：9(2023年武汉市部分学校调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的
6、前n项和为Tn，a11，b11，a2b23.(1)若a3b37，求bn的通项公式；(2)若T313，求Sn.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，由a3b37，得2dq28，联立，解得q2或q0(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)因为T3b1(1qq2)，所以1qq213，解得q3或q4，由a2b23得d4q，所以d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.10(2023年湖南省湘东六校联考)已知数列an的前n项和Sn满足1(n2，nN)，且a11.(1)求数列an的通项公式an；(2)记bn，T
7、n为bn的前n项和，求使Tn成立的n的最小值解：(1)由已知有1(n2，nN)，所以数列为等差数列，又1，所以n，即Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也满足上式，所以an2n1.(2)由(1)知，bn，所以Tn.由Tn得n24n2，即(n2)26，所以n5，所以n的最小值为5.综合题组练1(2023年北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，数列an满足a11，且
8、an则解下4个环所需的最少移动次数a4为()A7 B10C12 D22解析：选A.因为数列an满足a11，且an所以a22a11211，所以a32a222124，所以a42a312417.故选A.2已知an3n(nN*)，记数列an的前n项和为Tn，若对任意的nN*，k3n6恒成立，则实数k的取值范围是 解析：Tn，所以Tn，则原不等式可以转化为k恒成立，令f(n)，当n1时，f(n)，当n2时，f(n)0，当n3时，f(n)，当n4时，f(n)，即f(n)是先增后减，当n3时，取得最大值，所以k.答案：k3(2023年高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”(1)已知等
9、比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M数列”；(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式解：(1)证明：设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由得解得因此数列an为“M数列”(2)因为，所以bn0.由b11，S1b1，得，则b22.由，得Sn，当n2时，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此，数列bn的通项公式为bnn(nN*)4(2023年湖北襄阳二模)已知数列an的前n项和为Sn，满足：a11，Sn11Snan，数列bn为等比数列，满足b
10、14b3，b2b1，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Wn，数列bn的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小解：(1)由Sn11Snan，可得an1an1，又a11，所以数列an是首项和公差均为1的等差数列，可得ann.因为数列bn为等比数列，满足b14b3，b2b1，nN*，所以设公比为q，可得b14b1q2，所以q，当q时，b1，可得b1.当q时，b1，得b1，不满足b2b1，舍去，所以bn.(2)，Wn111.Tn1，则12，故Wn.规范答题示范(三)数列类型一判断等差数列和等比数列 (12分)记Sn为等比数列an的前n项和，已知(1)求an的通项公式；(2)
11、求Sn，并建桥寻突破看到S22，S36，想到S2a1a2，S3a1a2a3，利用等比数列的通项公式求解看到判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用2SnSn1Sn2进行证明.规范解答(1)设an的首项为a1，公比为q，由题设可得2分解得q2，a12.4分故an的通项公式为an(2)n.6分(2)由(1)可得Sn(1)n，8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn，11分故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.12分评分标准列出关于首项为a1，公比为q的方程组得2分；能够正确求出a1和q得2分，只求对一个得1分，都不正确不得分；正确写出数列的通项公式得2分；正确计算出数列的前n项
12、和得2分；能够正确计算出Sn1Sn2的值得2分，得出结论2SnSn1Sn2再得1分；写出结论得1分.解题点津(1)等差(或等比)数列的通项公式，前n项和公式中有五个元素a1、d(或q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程组的方法达到解题的目的(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等如本题采用中项法得出2SnSn1Sn2.核心素养数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.类型二求数列的前n项和 (12分)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)建桥寻突破看到求等差数列an和等比数列bn的通项公式，想到利用条件，列出方程，利用等差、等比数列的通项公式求解看到求数列a2nb2n1的前n项和，想到利用错位相减法求数列的前n项和.规范解答(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知得b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.2分又因为q0，解得q2，所以bn2n.3分由b3a42a1，可得3d