1、2015年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1下列实数中，为无理数的是（） A 0.2 B C D 5解析：5是整数，5是有理数；0.2是有限小数，0.2是有理数；，0.5是有限小数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数故选：C2下列运算中，正确的是（） A x3+x=x4 B （x2）3=x6 C 3x2x=1 D （ab）2=a2b2解析：A、x3与x不能合并，错误；B、（x2）3=x6，正确；C、3x2x=x，错误；D、（ab）2=a22ab+b2，错误；故选B32014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中
2、国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（） A 1.85105 B 1.85104 C 1.8105 D 18.5104解析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数将185000用科学记数法表示为1.85105故选A4下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A B C D 解析：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B
3、、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B5下列命题中，为真命题的是（） A 六边形的内角和为360度 B 多边形的外角和与边数有关 C 矩形的对角线互相垂直 D 三角形两边的和大于第三边解析：A、六边形的内角和为720，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选D6在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（） A B C D 解析：由x+20得x2，由2x60，得x3，把解集画在数轴上为：故选A7一家
4、鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 4 6 6 10 2 1 1 A 平均数 B 中位数 C 众数 D 方差解析：众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，鞋店最喜欢的是众数故选：C8下列说法中正确的是（） A “打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件 B 某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖 C 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查解析：A、“打开
5、电视机，正在播放动物世界”是随机事件，故A错误；B、某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故C错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；故选：D9一次函数y=2x+1的图象不经过（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限解析：一次函数y=2x+1中k=20，b=10，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限故选C10如图，过ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（） A B C D解析：为ABC中BC边上的高的是A选项故选A11如
6、图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角ABO为，则树OA的高度为（） A 米 B 30sin米 C 30tan米 D 30cos米解析：在RtABO中，BO=30米，ABO为，AO=BOtan=30tan（米）故选C12长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（） A 562.5元 B 875元 C 550元 D 750元解析：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，由题意得1.5x0.8x=500，解得：x=2500则标价为1
7、.52500=3750（元）则37500.92500=875（元）故选：B二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是解析：一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：=故答案为：14圆心角是60且半径为2的扇形面积为（结果保留）解析：由扇形面积公式得：S=故答案为：点评：圆心角为n，半径为r的扇形的面积为S=15把+进行化简，得到
8、的最简结果是（结果保留根号）解析：原式=+=2故答案为：216分式方程=的解是x=解析：去分母，得5（x2）=7x，解得：x=5，经检验：x=5是原方程的解17如图，在ABC中，DEBC，DE=6，则BC的长是解析：DEBC，DE：BC=AD：AB=，即6：BC=1：3，BC=18故答案为：1818如图，AB是O的直径，点C是O上的一点，若BC=6，AB=10，ODBC于点D，则OD的长为解析：ODBC，BD=CD=BC=3，OB=AB=5，OD=4故答案为4三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分
9、.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19计算：（）1+4cos60|3|+分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果解：原式=2+43+3=420先化简，再求值：（x+y）（xy）x（x+y）+2xy，其中x=（3）0，y=2分析： 首先去掉括号，然后合并同类项，最后把x=1，y=2代入化简式进行计算即可解：（x+y）（xy）x（x+y）+2xy=x2y2x2xy+2xy=xyy2，x=（3）0=1，y=2，原式=24=221中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承
10、优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分 频数 频率50x60 10 0.05 60x70 20 0.10 70x80 30 b 80x90 a 0.30 90x100 80 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的
11、3000名学生中成绩“优”等约有多少人？分析： （1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可解：（1）样本容量是：100.05=200，a=2000.30=60，b=30200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101
12、个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80x90分数段；（4）30000.40=1200（人）即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人故答案为60，0.15；80x90；120022如图，在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角（090）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F（1）求证：AOECOF；（2）当=30时，求线段EF的长度分析： （1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明AOECOF；（2）首先画出=30时的图形，根据菱形的性质
13、得到EFAD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长解：（1）四边形ABCD是菱形，ADBC，AO=OC，AE=CF，OE=OF，在AOE和COF中，AOECOF（2）当=30时，即AOE=30，四边形ABCD是菱形，ABC=60，OAD=60，AEO=90，在RtAOB中，sinABO=，AO=1，在RtAEO中，cosAOE=cos30=，OE=，EF=2OE=23现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求
14、该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？分析： （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率
15、为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=2.2（不合题意舍去）答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1（1+10%）=13.31（万件）平均每人每月最多可投递0.6万件，21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.621=12.613.31，该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务需要增加业务员（13.3112.6）0.6=12（人）答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员24如图，在直角坐标系中，M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B
16、（0，），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且COD=CBO（1）求M的半径；（2）求证：BD平分ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为M的切线，求此时点E的坐标分析： （1）由点A（，0）与点B（0，），可求得线段AB的长，然后由AOB=90，可得AB是直径，继而求得M的半径；（2）由圆周角定理可得：COD=ABC，又由COD=CBO，即可得BD平分ABO；（3）首先过点A作AEAB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EFOA于点F，易得AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标解：（1）点A（，0）与点B（0，），OA=，OB=，AB=2
17、，AOB=90，AB是直径，M的半径为：；（2）COD=CBO，COD=CBA，CBO=CBA，即BD平分ABO；（3）如图，过点A作AEAB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EFOA于点F，即AE是切线，在RtAOB中，tanOAB=，OAB=30，ABO=90OAB=60，ABC=OBC=ABO=30，OC=OBtan30=，AC=OAOC=，ACE=ABC+OAB=60，EAC=60，ACE是等边三角形，AE=AC=，AF=AE=，EF=AE=，OF=OAAF=，点E的坐标为：（，）25在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”（1）求函数y=x+2的图
18、象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？分析： （1）因为x是整数，x0时，x是一个无理数，所以x0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可（2）首先判断出当k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；
19、然后判断出当k1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可（3）首先令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可解：（1）x是整数，x0时，x是一个无理数，x0时，x+2不是整数，x=0，y=2，即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）（2）当k=1时，函数y
20、=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；当k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1，1）当k1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（1，k）、（k，1）、（k，1），这与函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）（3）令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=
21、0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，x2（x1+2）=1，x1、x2都是整数，或或当时，k=；当时，k=k1，无解；综上，可得k=，x1=3，x2=1，y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=23+2x2+2（）24+1x+（）2=x2x当x=2时，y=x2x=（2）2（2）+=当x=1时，y=x2x=（1）2（1）+=1当x=0时，y=，综上，可得若二次函数y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个
22、“中国结”：（3，0）、（2，0）、（1，0）（1，1）、（0，0）、（1，0）26（10分）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a0，c0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；（2）当x1=2c时，试问ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1=mc（m0）时，记MAB，PAB的面积分别为S1，S2，若BPOPAO，且S1=S2，求m的值分析： （1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a、c代入得：x2+bx+2=0，根据
23、x1=2是它的一个根，求出b，再根据x2x+2=0，即可求出另一个根，（2）根据x1=2c时，x2=，得出b=（2ac+），4ac=2b1，根据M的坐标为（，），得出当ABM为等边三角形时=（2c），求出b1=1，b2=21（舍去），最后根据4ac=2b1=1，得出2c=，A、B重合，ABM不可能为等边三角形；（3）根据BPOPAO，得出=，ac=1，由S1=S2得出b2=4a2c=8ac=8，求出b=2，最后根据x22x+c=0得出x=（1）c，从而求出m解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，把a=，c=2代入得：x2+bx+2=0，x1=2是它的一个根，22+2b+2=0，解得：b=，方程为：x2x+2=0，另一个根为x2=3；（2）当x1=2c时，x2=，此时b=a（x1+x2）=（2ac+），4ac=2b1，M（，），当ABM为等边三角形时|=AB，即=（2c），=，b2+2b+1=（1+2b+1），解得：b1=1，b2=21（舍去），此时4ac=2b1=1，即2c=，A、B重合，ABM不可能为等边三角形；（3）BPOPAO，=，即x1x2=c2=，ac=1，由S1=S2得c=|=c，b2=4a2c=8ac=8，b1=2，b2=2（舍去），方程可解为x22x+c=0，x1=（1）c，m=1