1、,5.3 诱导公式,前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.,如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点 1.活动1：作 1 关于原点的对称点 2，以 2 为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？,下面，借助单位圆的对称性进行探究.如图，以 2 为终边的角都是与角+终边相同的角，即=2+(+)().因此，只要探究角+与的三角函数值之间的关系即可.,设 1(1,1)，2(2,2).因为 2 是点 1 关于原点的对称点，所以 2
2、=1，2=1.根据三角函数的定义，得：=1,=1，=1 1；(+)=2,(+)=2，(+)=2 2.从而得：,活动2：作 关于轴的对称点，则以 为终边的角为，此时角与角的三角函数值之间有什么关系?,此时，我们易得：1 1,1,3 3,3=1,1 根据三角函数的定义，得：sin=1,cos=1,tan=1 1 sin()=3,cos()=3,tan()=3 3 从而得：,活动3：作 1 关于轴的对称点 4，则以 4 为终边的角为，此时角与角的三角函数值之间有什么关系？,此时，我们易得：1(1,1)，4(4,4)=(1,1).根据三角函数的定义，得：=1,=1，=1 1；()=4,()=4，()=
3、3 3.从而得：,(+)=(+)=(+)=,()=()=()=,()=()=()=,(+)=(+)=(+)=,+与的终边关于原点对称,与的终边关于轴对称,与的终边关于轴对称,+与的终边相同,公式一,公式二,公式三,公式四,大化小(02)负化正,大化小(锐角),负化正,大化小(锐角),活动4：作 1 关于直线=的对称点 5，以 5 为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？,如图，以 5 为终边的角都是与角 2 终边相同的角，即=2+(2)().因此，只要探究角 2 与的三角函数值之间的关系即可.,设 5(5,5)，1(1,1).由于 5 是点 1 关于直线=的对称点，可以证明
4、 5=1,5=1.(证明过程)如图，过 1、5 分别作垂线 1、5 1.因为 1 5 1，所以=5 1，1=1.因此 1=5，1=5.根据三角函数的定义，得：(2)=5,(2)=5.,由前面的分析知：(2)=5,(2)=5.=1,=1.5=1,5=1.,从而得：公式五,如图，以 6 为终边的角都是与角 2+终边相同的角，即=2+(2+)().因此，只要探究角 2+与的三角函数值之间的关系即可.,活动5：作 5 关于轴的对称点 6，又能得到什么结论呢？,设 6(6,6)，5(5,5)，1(1,1).由于 6 是点 5 关于轴的对称点，可以证明 6=1,6=1.(证明过程)如图，过 1、6 分别作
5、垂线 1、6 1.因为 1 6 1，所以=6 1，1=1.因此 1=6，1=|6|=6.6 1=2.,根据三角函数的定义，得：(2)=6,(2)=1.由公式四、五可得：()=()=，()=()=.,由公式四、五可得：()=()=，()=()=.,从而得：公式六,利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一公式六都叫做诱导公式.,【例1】（2023全国高一专题练习）sin 17 6+cos 20 3+tan 53 6=_,【答案】1+3 3【解析】sin 17 6+cos 20 3+tan 53 6=sin 6+cos 4 3 tan 5 6=1 2 1 2+3 3=1+3
6、3 故答案为：1+3 3,题型一：利用诱导公式求解给角求值问题,【对点训练1】（2023全国高一）cos330+sin 30+tan 8 3+cos90=_,【答案】3+1 2【解析】cos330+sin 30+tan 8 3+cos90=cos(36030)sin30+tan 3 3=cos30 1 2 tan 3=3 2 1 2 3=3+1 2 故答案为：3+1 2,题型一：利用诱导公式求解给角求值问题,【对点训练2】（2023云南昆明高一期末）sin 35 6=（）A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2,【答案】B【解析】sin 35 6=sin 6 6=sin 6=sin 6=
7、1 2 故选：B【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化（2）“大化小”：用公式一将角化为0到360间的角（3）“小化锐”：用公式二或四将大于90的角转化为锐角（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值,题型一：利用诱导公式求解给角求值问题,【例2】（2023安徽阜阳高一期末）已知cos=12 13，若是第二象限角，则tan+的值为（）A 5 12 B 12 5 C 5 12 D 12 5,【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以sin=1co s 2=5 13，所以tan+=tan=sin cos=5 12 故选：C,题型二：利用诱导公式求解
8、给值求值问题,【对点训练3】（2023全国高一课时练习）若sin+=4 5，则cos 3 2=（）A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 3 5,【答案】A【解析】sin+=sin=4 5，sin=4 5，cos 3 2=sin=4 5 故选：A,题型二：利用诱导公式求解给值求值问题,【对点训练4】（2023河南南阳高一期中）已知角 2,0，且ta n 2 3tansin4si n 2=0，则cos+2021=（）A 1 4 B 15 4 C 1 4 D 15 4,【答案】A【解析】因为ta n 2 3tansin4si n 2=0，所以 tan4sin tan+sin=0，因为 2,0，所以
9、且sin0，所以tan4sin=0，即 sin cos=4sin，所以cos=1 4，所以cos+2021=cos+10102=cos+=cos=1 4；故选：A.【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化,题型二：利用诱导公式求解给值求值问题,【例3】（2023陕西蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：3 sin 20 3 tan 11 3 cos 13 4 tan 37 4；（2）已知tan=4 3，求 si n 2+2sincos
10、2co s 2 si n 2 的值,【解析】（1）原式=3 sin 4 3 tan 5 3 cos 5 4 tan 3 4=3 sin 3 tan 3 cos 4 tan 4=3 2 2 2=3 2 2；（2）原式=ta n 2+2tan 2ta n 2=4 3 2+2 4 3 2 4 3 2=20,题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用,【对点训练5】（2023浙江杭州高级中学高一期末）（1）化简=sin()cos 3 2 tan()cos 2 tan(2+)；（2）已知关于的方程2 2+1 4=0的两根为sin和cos，4,2 求实数以及sincos的值,【解析】（1）=sin()cos
11、 3 2 tan()cos 2 tan(2+)=sin sin tan sintan=sin，即=sin（2）因为关于的方程2 2+1 4=0的两根为sin和cos，所以sin+cos=2，sincos=1 8，所以 sin+cos 2=1+2sincos=2 4=5 4，所以=5，因为 4,2，所以sin0，cos0且sincos，所以=5，sincos=sincos 2=12sincos=12 1 8=3 2,题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用,【例4】（2023全国高一专题练习）求证：tan(2)cos 3 2 cos(6)sin+3 2 cos+3 2=tan,【解析】左边 tan sin cos cossin=tan右边，所以原等式成立,题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用,【对点训练6】（2023全国高一课时练习）求证：sin 3+cos 4 cos sin tan=sin 4 cos 2 cos+sin+,