1、,5.4 三角函数的图象和性质,5.4.2 正弦、余弦函数的单调性与最值(第2课时),上节课我们学习了正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如,)上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.因为对于周期函数，如果把握了它的一个周期内的情况，那么也就把握了整个函数的情况.,思考1：观察下图，找出 的值随着的变化是如何变化的？,观察下图，可以看到：当由 2 增大到 2 时，曲线逐渐上升，的值由1增大到1；当由 2 增大到 3 2 时，曲线逐渐下降，的值由1减小到1.的值的变化情况如表所示：,这就是说，正弦函数=在区间,上单调递增，在区间,上单调递减.由正弦函数的周期
2、性可得，正弦函数在每一个闭区间+,+()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间+,+()上都单调递减，其值从减小到.,思考2：类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如,)上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表：,这就是说，正弦函数=,在区间,上单调递增，在区间,上单调递减.由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间+,()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间,+()上都单调递减，其值从减小到.,思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量的值.,正弦
3、函数当且仅当=+()时取得最大值，当且仅当=+()时取得最小值；余弦函数当且仅当=()时取得最大值，当且仅当=+()时取得最小值.,例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.(1)=+1,;(2)=3 2,.,解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数=+1,取得最大值的的集合，就是使函数=，取得最大值的的集合|=2,；使函数=+1,取得最小值的的集合，就是使函数=，取得最小值的的集合|=(2+1),.函数=+1,的最大值是1+1=2；最小值是1+1=0.,(2)=3 2,.,解：(2)令=2，使函数=3，取得最大值的的
4、集合，就是使=，取得最小值的的集合|=2+2,.由2=2+2，得=4+.所以，使函数=3 2,取得最大值的的集合是|=4+,.同理，使函数=3 2,取得最小值的的集合是|=4+,.函数=3 2,的最大值是3，最小值是3.,例4.不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)(18)与(10)；(2)(23 5)与(17 4).,解：(1)因为 2(10).(2)(23 5)=23 5=3 5，(17 4)=17 4=4.因为0 3 5，即(17 4)(23 5).,例5.求函数=(1 2+3)，2,2的单调递增区间.,解：令=1 2+3，2,2，则 2 3,4 3.因为=，2 3,4 3 的单调增区
5、间是 2,2，且由 2 1 2+3 2，得 5 3 3.所以，函数=(1 2+3)，2,2的单调递增区间是 5 3,3.,例1.求函数=2(2 6)的单调区间.,解：令 2+22 6 2+2，.则 3+22 2 3+2，.即 6+3+，.所以函数的单调递增区间是 6+，3+，.令 2+22 6 3 2+2，.则 2 3+22 5 3+2，.即 3+5 6+，.所以函数的单调递减区间是 3+，5 6+，.,变1.求函数=2(2 6)的单调区间.,解：据题意，函数=2(2 6)的单调区间和函数=2(2 6)的相反.令 2+22 6 2+2，.则 3+22 2 3+2，.即 6+3+，.所以函数的单
6、调递减区间是 6+，3+，.令 2+22 6 3 2+2，.则 2 3+22 5 3+2，.即 3+5 6+，.所以函数的单调递增区间是 3+，5 6+，.,方法技巧：(1)用“基本函数法”求函数=(+)(0，0)或=(+)(0，0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数=(或=)的相应单调区间；第二步：将“+”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“”；第三步：解关于的不等式.(2)对于形如=(+)的三角函数的单调区间问题，当0时，可先用诱导公式转化为=()，则=()的单调递增区间即为原函数的单调递减区间。单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数=(+)的单调性讨论同上.另
7、外，值得注意的是这一条件不能省略.,例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)(6)与(10)；(2)196与156；,解：(1)2(6).(2)196=(180+16)=16，156=(18024)=24=66，又066，即196156.,例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(3)(22 5)与 9 4.,解：(3)(22 5)=22 5=2 5，9 4=4.0 2 5，即 9 4(22 5).,变2.比较下列各组数的大小.(1)1与 1；(2)15 8 与 14 9；,解：(1)1=(2 1)，而0 4 9，即 15 8 14 9.,变2.比较下列各组数的大小.
8、(3)3 14 与(15 8).,解：(3)3 14=(2 2 7)=2 7，(15 8)=(2+8)=8.0(15 8).,方法技巧：三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到,或,内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到,0或0,内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.,例3.求下列函数的值域.(1)=2(2+3)，6,2；(2)=|+；(3)=2 4+5.,解：(1)6,2，2+3 0,4 3，令=2+3，又=2 在0,2 上单调递增，在 2,4 3 上单调递减
9、，(2+3)1，3 2(2+3)2，函数的值域为 3,2.,例3.求下列函数的值域.(2)=|+；(3)=2 4+5.,解：(2)=2，0，0，0.又 0时，02 2，函数的值域为0,2.(3)令=，1,1，=2 4+5=(2)2+1在1,1上单调递减，当=1时，=10；当=1时，=2.函数的值域为10,10.,变3.求函数=2 2+2+3，6,5 6 的最大值和最小值.,解：由正弦函数的性质知，当 6,5 6 时，1 2,1，=2 2+2+3=2 2+2+1=2(+1 2)2+1 2；当=1 2 时，函数取得最小值，=21+1 2=5 2；当=1时，函数取得最大值，=2 9 4+1 2=5.函数在 6,5 6 上的最大值是5，最小值是 5 2.,方法技巧：三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法(1)形如=(或=)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对正负的讨论.(2)形如=(+)+(或=(+)+)型，可先由定义域求得+的范围，然后求得(+)(或(+)的范围，最后求得最值.(3)形如=2+(0)型，可利用换元思想，设=，转化为二次函数=2+求最值.的范围需要根据定义域来确定.,课堂小结：(1)正、余弦函数的单调性；(2)正、余弦函数的最值.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P207的练习15题.,