1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）ABC6D82已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与
2、其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是ABCD3设向量，满足，则的取值范围是ABCD4双曲线的渐近线方程为( )ABCD5已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）ABCD6已知复数，若，则的值为（ ）A1BCD7在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）ABCD8已知数列为等差数列，为其前项和，则（ ）A7B14C28D849已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD10已知三棱锥中，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD11已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）ABCD
3、12设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。133张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是_14已知向量满足，则_.15某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为_.16双曲线的焦距为_，渐近线方程为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.18（12分）
4、已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.19（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归
5、方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298120（12分）在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.21（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A (k0)的一个特征向量为，A的逆矩阵A1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)求实数a，k的值22（10分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题
6、5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；【题目详解】解：双曲线的离心率为，所以，双曲线的焦距为.故选：A【答案点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.2、D【答案解析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，即得结果.【题目详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，故所求双曲线的方程为故选D【答案点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.3、B【答案解析】由模长公式求解即可.【题目详解】，当时取等号，所以本题答案
7、为B.【答案点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.4、A【答案解析】将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程.【题目详解】双曲线得，则其渐近线方程为，整理得.故选：A【答案点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.5、A【答案解析】，从而可得，再解不等式即可.【题目详解】由已知，所以，由，解得，.故选：A.【答案点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.6、D【答案解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.7、B【答案解析】根据所求双曲线
8、的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程【题目详解】双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为双曲线的标准方程为故选：B【答案点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题8、D【答案解析】利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【题目详解】，解得故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9、A【答案解析】根据
9、题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【题目详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意， ，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【答案点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.10、D【答案解析】根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【题目详解】设为中点，是等边三角形，所以，又因为，且，所以平面，则，
10、由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥，设底面等边的重心为，可得，所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，在中，即，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，故选：D.【答案点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.11、A【答案解析】画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【题目详解】由于，,由于，令，在，故.故选：A【答案点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，
11、属于较难题.12、D【答案解析】充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.【题目详解】充分性：若存在正数，使得，则，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【答案点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.【题目详解】解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖,甲、乙两人同
12、时各抽取1张奖券,则两人同时抽取两张共有： 种排法排除特等奖外两人选两张共有：种排法.故两人都未抽得特等奖的概率是： 故答案为：【答案点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题.14、1【答案解析】首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；【题目详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【答案点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.15、【答案解析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【题目详解】如图：此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，所以体积.所以本题答案为.【答案点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空
13、间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.16、6 【答案解析】由题得 所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【答案解析】（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：设中点为，连接、，为等边三角形，即， ，平面，平面，平面，为的中位线，平面，平面，平面，、为平面内二相交直线，平面平面，平面DMN，平面；（2）设中点为，连接、为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，、共线，平面平面.平面平面平面，交线为，平面平面.设，则在中，由余弦定理，得：又，为中点，建立直角坐标系（如图），则，.，设平面的法向量为，则，取，则，平面的法向量为，二面角为锐角，二面角的余弦值大小为.【答案点睛】本题考查面面平行证明线面平行，