1、第14讲 空间点、线、面的位置关系一、学习目标1. 掌握空间中的点、线、面的位置关系的判定；2. 掌握平面与垂直关系的判定与证明.二、 典例分析例1.（1）如图，在正方体中，P是线段上的动点，则（）A平面 B平面 C平面D平面（2）2如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面D直线与直线异面，直线平面【答案】（1）B； （2）A变式：1如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）ABCD【答案】A2如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立
2、的是（ ）A与垂直 B与垂直 C与异面D与异面【答案】D例2（1）设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是（）A过m且与n垂直的平面有且只有一个 B过m且与n平行的平面有且只有一个C过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个D过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个（2）如图，平面与平面相交于BC，AB，CD，点ABC，点DBC，则下列叙述错误的是（）A直线AD与BC异面 B过AD只有唯一平面与BC平行C过点D只能作唯一平面与BC垂直 D过AD一定能作一平面与BC垂直【答案】（1）B； （2）D.变式：1.已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SA
3、B上，则（）A直线可能与平面垂直B直线可能与平面垂直C直线可能与平面平行D直线可能与平面平行【答案】C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条【答案】D例3如图，在四棱锥中，平面，.（）求证：； （）求证：；（）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面? 说明理由.【答案】（）因为平面，所以又因为，所以平面（）因为，所以因为平面，所以所以平面所以平面平面（）棱PB上存在点F，使得平面证明如下：取PB中点F，连结EF，又因为E为的中点，所以又因为平
4、面，所以平面变式：1如图，在四棱锥中， 平面平面，.（1）求证:平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（）因为平面平面，所以平面.所以.又因为，所以平面.（）棱上存在点使得平面，此时.三、课外作业1如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，分别是，的中点，点在线段上，且，则（）A B直线与直线相交 C D平面【答案】D2已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足l m，l n，则（ ）A且 B且C与相交，且交线垂直于D与相交，且交线平行于【答案】D3已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A充分不必
5、要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A4若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）A过点有且仅有一条直线与都平行 B过点有且仅有一条直线与都垂直C过点有且仅有一条直线与都相交 D过点有且仅有一条直线与都异面【答案】B5如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A，且直线是相交直线 B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线 D，且直线是异面直线【答案】B6已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD【答案】A7如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满
6、足的所有序号是_.【答案】8多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）【答案】9设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是_.【答案】10.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则PEQ周长的最小值为_.【答案】11如图，矩形所在平面与半圆弧
7、所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由【答案】（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD12如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=P
8、AB=90，BC=CD=AD（）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； （）证明：平面PAB平面PBD【答案】（）取棱AD的中点M（M平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：因为ADBC，BC=AD，所以BCAM， 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.（）由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BC=AD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC，BC=AD，所以BCMD，且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BDAB.又ABAP=A，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.13如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示.（1）求证：；（2）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.【答案】（1）先证，得出， ；(3) Q为的中点，由上问 ，易知,取 中点P，连接DP和QP，不难证出， ， 又.学科网（北京）股份有限公司