1、解密06 正、余弦定理及解三角形 高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点2021年全国乙卷152020课标全国 72020课标全国172019课标全国152018课标全国172018课标全国62018课标全国9解三角形与其他知识的交汇问题2021新高考卷192021新高考卷182020课标全国162019课标全国172019课标全国 17考点一 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三
2、角形技巧点拨利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化若想“边”往“角”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”；若想“角”往“边”化，常利用sin A，sin B，sin C，cos C等例题1 1在中，已知，则角的大小为（ ）ABCD1A【分析】因为，由正弦定理，可得，又由余弦定理得，因为，可得.故选：A.例题2在中，角、所对的边分别为、，其中，则的最小值为（ ）A9B12C18D20【分析】由题意知，根据正弦定理，可得，因为，所以，即，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为18
3、故选：C例题3在中，角的对边分别是，若，则（ ）ABCD由余弦定理得：，又，故选：A例题4从，的面积，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答已知的内角，所对的边分别是，若，且_（1）求；（2）若角的平分线与交于点， ，求，（1）条件选择见解析，（2）【分析】解：若选，又， ，若选：，又，若选：，由正弦定理得，（2）是角的平分线，即，由（1）知，解得题组二 与不等式有关的问题例题2在ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足.（1）求角；（2）若，求的取值范围因为，由余弦定理得c(ab)a2b2，所以a2c2b2bc2a22b2，即a2b2c2bc.因为a2b2c
4、22bccos A，所以cos A，则A.（2）由正弦定理得2，所以b2sin B，c2sin C，所以bc2sin B2sin C2sin B2sin(AB)2sin B2sin Acos B2cos Asin B3sin Bcos B2sin(B)因为B，所以B(，)所以sin(B)(，1，则bc(，2例题2在锐角 中， 角 的对边分别为，已知 （1）求证：（2）若，求的取值范围解：因为，由正弦定理得，因为=，所以，则或，即或（舍去），故.（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得：，则，所以.例题3若函数f（x）=Asin（x）（A0，0，0）满足下列条件：f（x）的图
5、象向左平移个单位时第一次和原图象重合；对任意的xR都有f（x）f（）=2成立（1）求f（x）的解析式；（2）若锐角ABC的内角B满足f（B）=1，且B的对边b=1，求ABC的周长l的取值范围（1）由题意可得：T=，解得：=2，对任意的xR都有成立，时，f（x）有最大值2，可得：A=2，kZ，又0，（2）f（B）=1，而，故，ABC是锐角三角形，ABC中，由正弦定理可得，题组三 三角形形状的判断技巧点拨判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，
6、应移项提取公因式，以免造成漏解.例题1在中，角、所对的边分别为、若，则的形状是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D不确定【分析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C例题2 在中，内角，所对的边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件在中，由结合余弦定理得：，整理得：，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，所以“”是“是
7、等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D例题3 在ABC中，已知a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，则该三角形的形状是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形a2b2c2ab，又，由2cosAsinBsinC，得，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C例题4已知的三个内角，所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为的非等腰三角形D顶角为的等腰三角形因为，所以，所以，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，由得，得，得，得，得，因为为三角形的内角，所以，所以为顶角为的等腰三角形.故选：D考点二 解三角形与其他知识综合应用例题
8、1已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）A重心B垂心C内心D外心【答案】A【分析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，得，由，得即，而，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，动点的轨迹一定经过的重心故选：A.例题2 在ABC中，O为ABC的重心，若，则ABC外接圆的半径为（ ）ABCD【答案】B【分析】因为，所以，即.因为O为ABC的重心，且，所以ABC为等边三角形.因为，所以.因为，所以ABC外接圆的半径为.故选：B例题3 已知在中，内角A，的对边分别为，满足.（1）求；（2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】，由正弦定理得，即，（2）因为，ABC是等边三角形，在中，由余弦定理知，而，四边形的面积，当即时，取得最大值，为，故四边形面积的最大值为例题4 在中，它的内角，的对边分别为，且，（1）若，求的面积；（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由【答案】（1）；（2）不成立，理由见解析.由，得，因为，即又因为，所以在中，由正弦定理，所以，所以.（2）假设，由余弦定理，即，所以，因为，所以，解得：或2（舍），此时不满足，所以假设不成立.11原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司