1、重难点07 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题,01,02,03,目录,CONTENTS,题型归纳,方法技巧,典型例题,题型归纳,题型归纳,方法技巧,方法技巧,求复数模的范围与最值问题是热点问题,其解题策略是:(1)把复数问题实数化、直观化、熟悉化,即将复数问题转化为实数问题来处理,转化为实数范围内,求模的范围与最值问题来解决;(2)发掘问题的几何意义,利用几何图形的直观性来解答,把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答;(3)利用三角函数解决.,典型例题,【典例1-1】(2024高一课时练习)已知复数 1=cos+i和 2=1isin,i为虚数单位,求 1 2 2 的最大值和最小值,
2、【解析】复数 1=cos+i和 2=1isin,则 1 2 2=cos1+(1+sin)i 2=cos1 2+(1+sin)2=32cos+2sin=3+2 2 sin 4 由1sin 4 1,可得32 2 3+2 2 sin 4 3+2 2 则 1 2 2 的最大值3+2 2,最小值32 2,题型一:单模长最值问题,【典例1-2】(2024高一课时练习)设复数:满足+43i 2=2+43i,求 的最大值和最小值,【解析】因为+43i 2=2+43i,所以+43i 2;因为+43i 43i=5 所以 5 2,解得3 7;所以 的最大值为7,最小值为3,题型一:单模长最值问题,【变式1-1】(2
3、024高一单元测试)已知复数满足|+22i|=2,且复数在复平面内的对应点为(1)确定点的集合构成图形的形状;(2)求|1+2i|的最大值和最小值,【解析】(1)设复数2+2i在复平面内的对应点为(2,2),则|+22i|=|(2+2i)|=|=2,故点的集合是以点为圆心,2为半径的圆,如下图所示(2)设复数12i在复平面内的对应点为(1,2),则|1+2i|=|,如下图所示,|=(1+2)2+(22)2=5,则|1+2i|的最大值即|的最大值是|+2=7;|1+2i|的最小值即|的最小值是|2=3,题型一:单模长最值问题,【变式1-2】(2024广东中山高二中山一中校考)已知复数满足=1,则
4、 1i 的最小值为_,【答案】2 1【解析】=1,在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心,以1为半径的圆,1i 的几何意义为圆上的点到 1,1 的距离,如图,1i 的最小值为 1=2 1故答案为:2 1,题型一:单模长最值问题,【典例2-1】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(1601-1665)于1643年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当的三个内角均小于120时,则使得=120的点即为费马点根据以上材料,若C,则 2+2+2i 的最小值为()A2 3 2
5、B2 3+2C 3 1D 3+1,【答案】B【解析】设=+i(,R),则 2+2+2i 表示点(,)到三顶点(2,0)、(2,0)、(0,2)的距离之和依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上,且=12 0,则=3 0 此时+=2 cos3 0 2+22tan3 0=2 3+2故选:B,题型二:多模长之和差最值问题,【典例2-2】(2024高一课时练习)已知复数满足|=3,则|+4|+|4|的取值范围是_,【答案】8,10【解析】复数满足|=3,表示以原点为圆心,以3为半径的圆,则|+4|+|4|的表示圆上的点到(4,0)和(4,0)的距离,由图象可知,当点在,处最小,最小为:4+4=8
6、,当点在,处最大,最大为2 3 2+4 2=10,则|+4|+|4|的取值范围是8,10,故答案为:8,10,题型二:多模长之和差最值问题,【变式2-1】(2024全国高三专题练习)若复数满足=2,则+3+3 的取值范围是_,【答案】6,2 13【解析】由于复数满足=2,故复数对应的点在圆心为原点,半径为2的圆上,设圆上任意一点的坐标为 2cos,2sin,0,2+3+3 表示圆上的点到 3,0 和 3,0 两点距离之和,即 2cos3 2+2sin 2+2cos+3 2+2sin 2=1312cos+13+12cos,式平方得26+2 169144co s 2,由于co s 2 0,1,所以
7、169144co s 2 25,169,所以 169144co s 2 5,13,所以26+2 169144co s 2 36,52,所以 1312cos+13+12cos 6,2 13 故答案为:6,2 13,题型二:多模长之和差最值问题,【变式2-2】(2024辽宁沈阳高一东北育才学校校考)已知复数=+i,R 满足+1=+18i,求+1+i+5i 的最小值_,【答案】10【解析】复数=+i,R,由+1=+18i,即(+1)+i=(+1)+(8)i,于是得(+1)2+2=(+1)2+(8)2,整理得=4,R,即=+4i,+1+i+5i=(+1)+5i+(5)+3i=(+1)2+5 2+(5)
8、2+(3)2 表示点(,0)与点(1,5)、(5,3)距离的和,显然点P在x轴上,而线段AB与x轴相交,因此,+1+i+5i=|+|=10,当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”,所以+1+i+5i 的最小值是10故答案为:10,题型二:多模长之和差最值问题,【典例3-1】(2024全国高一专题练习)若+=1,则+1 i 取值范围是_,【答案】1,2【解析】由题意设=1 2+i(R),则+1 i=9 4+2 1 4+1 2 其几何意义为平面内一动点(0,)到两定点 3 2,0,1 2,1 距离之差,由图可知,当,三点共线时,距离之差最大,当时,最小,则01=1+1 i 1 2 3 2 2
9、+1=2+1 i 的取值范围是 1,2 故答案为:1,2,题型三:模长的范围问题,【典例3-2】(2024全国高三专题练习)复数z满足|1|+|+1|=4,则|的取值范围是()A 3,2B1,2C2,3D1,3,【答案】A【解析】复数|1|+|+1|=4表示复平面上的点z到 1,0 和 1,0 的距离之和是4的轨迹是椭圆,则=2,=1,=2 2=3,|的几何意义是复平面上的点到坐标原点的距离,所以 3|2故选:A,题型三:模长的范围问题,【变式3-1】(2024高三江苏南通开学考试)设复数 1=1i,2=cos+isin,其中0,,若复数=1 2 为实数,则=,|1+2|的范围为,【答案】3
10、4;2 1,5【解析】因为 1=1i,所以 1=1+i,所以=1 2=(1+i)(cos+isin)=(cos sin)+i(cos+sin),因为复数为实数,所以cos+sin=0,即 2 sin(+4)=0,所以+4=(Z),因为0,,所以=3 4,因为 1+2=(1+cos)+i(sin1),所以|1+2|=(1+cos)2+(sin1)2=3+2cos2sin=32 2 sin(4),因为0,,4 4,3 4,所以sin(4)2 2,1,所以 1+2 2 1,5 故答案为:3 4;2 1,5,题型三:模长的范围问题,【变式3-2】(2024高一全国单元测试)(1)1=(21)+i,2=1i(R),若 1 2,求的取值范围(2)已知复数 1=cosi,2=sin+i,求 1 2 的最大值和最小值,【解析】(1)由题意得(21)2+11+2,即3 2 4+10,得1,所以的取值范围,1 3(1,+)(2)1 2=1+sincos+(cossin)i=(1+sincos)2+(cossin)2=2+si n 2 co s 2=2+1 4 si n 2 2,因为si n 2 2 0,1,所以 2+1 4 si n 2 2 2,3 2,故 1 2 的最大值为 3 2,最小值为 2,题型三:模长的范围问题,