1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定（基础知识+基本题型）知识点一两条直线平行的判定设两条不重合的直线，的斜率分别为，若，则与的倾斜角与相等，如图3.1-11，由，得，即，因此，若，则；反之，若，则.提示：对两直线平行与斜率的关系要注意：（1）直线成立的前提条件有两个：与不重合；斜率都存在.（2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，与的倾斜角都是，则.（3）两条不重合直线平行的判定的一般性结论是：，或，的斜率都不存在.知识点二两条直线垂直的判定设两条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，且都不为直角，若，则（若，则），由三角形任一外角等于其不相邻两内角之和，得.则.若，则. 要点诠释：1.公式成立的前
2、提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 考点一 两条直线平行关系的判定例1 根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行：（1）经过点，；经过点，；（2）的斜率为，经过点，；（3）平行于轴，经过点，；（4）经过点，经过点，解：（1），所以与不平行（2）的斜率，的斜率，即，所以与平行或重合（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以（4）由题意，知，所以与平行或重合需进一步研究，四点是否共线，所以，四点共线所以与重合总结升华：判断两条直线平行的注意事项（1）判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即
3、先看两点的横坐标是否相等（2）判断斜率是否相等，实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行（3）在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合考点二 两条直线平行关系的应用例2 已知的三个顶点的坐标分别是，求顶点的坐标：分析：由平行四边形的性质，且着手，设出点的坐标，由斜率相等，解方程组求得解：设，由题意，得，则有，所以，解得，所以点的坐标为总结：解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决本题就是利用两直线平行与斜率的关系求解的例3 已知，若直线直线，则_解析：当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存
4、在，与不平行，不合题意；当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；当且时，因为直线直线，所以，即，解得或经检验，当或时，直线，都不重合综上，的值为或答案：或考点三 两条直线平垂直关系的判定例4判断与是否垂直：（1）的斜率为，经过点，； （2）经过点，；经过点，解：（1）设直线，的斜率分别为，则，因为，所以（2）设直线，的斜率分别为，则由，的横坐标相等，得的倾斜角为，则轴；，则轴故总结：判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线都有斜率时，只需看它们的斜率之积是否等于即可当应注意，当有一条直线与轴垂直，另一条与轴平行时，两条直线也垂直考点四 两条直线垂直关系的应用例5 已知直线
5、经过，直线经过点，如果，求的值解：设直线，的斜率分别为，因为直线经过点，且， 所以的斜率存在 当时，不存在，则，此时与垂直当时，此时存在由，得解得综上，的值为或由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为求解但在解题过程中要注意讨论直线与轴垂直的情况此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解考点五 两条直线平行或垂直的综合问题例6 已知，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状解：由题意，知，四点在坐标平面的位置如图31-13，5DyxOABC23-36图3.1-13由斜率公式，得，所以，由图31-13，知与不重合，所以因为，所以与不平行又因为，所以故四边形为直角梯形 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：描 点猜 测求斜率下结论在平面直角坐标系中描出给定的点根据描出的点，猜测图形的形状根据给定点的坐标求直线的斜率由斜率之间的关系判断形状 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司