1、第7讲抛物线基础题组练1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1，0) B(1，0) C(0，1) D(0，1)解析：选B.抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1，1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)2(2023年湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为()Ax28y Bx24y Cx24y Dx28y解析：选C.依题意，设抛物线的方程为x22py(p0)，则34，所以p2，所以抛物线的方程为x24y，故选C.3若点A，B在抛物线y22px(p0)上，O是坐标原
2、点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是()Ay2x By2x Cy22x Dy2x解析：选A.根据对称性，ABx轴，由于正三角形的面积是4，故AB24，故AB4，正三角形的高为2，故可设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得44p，解得p，故所求抛物线的方程为y2x.故选A.4(2023年甘肃张掖第一次联考)已知抛物线C1：x22py(y0)的焦点为F1，抛物线C2：y2(4p2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|，则直线F1F2的斜率为()A B C D解析：选B.因为|PF1|，所以，解得p.所以C1：x2y，C2：y24x，F1，F2(1，0)，所以直线F1F2的斜率
3、为.故选B.5(2023年吉林第三次调研测试)已知抛物线y24x的焦点为F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A1 B. C5 D解析：选B.求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|PD| 最小，此时P，PF的长为1，故选B.6在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 解析
4、：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点坐标代入可求得p，所以准线方程为y.答案：y7抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p .解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：68已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2，0)，则抛物线C的方程是 ；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN| 解析：抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2，0)，可得p4，则抛物线C的方程是y28x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线
5、方程得y2，则M(1，2)，则点N的坐标为(0，4)，所以|FN|6.答案：y28x69顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线的方程解：设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y2x4代入y2ax，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.
6、所以抛物线的方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.综合题组练1设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则下列说法正确的是()ABF是等边三角形；|BF|3；点F到准线的距离为3；抛物线C的方程为y26x.A B C D解析：选C.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，ABD90，由抛物线的定
7、义可得|AB|AF|BF|，所以ABF是等边三角形，所以FBD30.因为ABF的面积为|BF|29，所以|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin 303p，则该抛物线的方程为y26x.2(2023年武汉市调研测试)已知过点M(1，0)的直线AB与抛物线y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB过点M(1，0)，所以可设直线AB的方程为xty1.联立得，得y22ty20，y1y22t，y1y22.又kOA，kOB，所以1，于是x2y1x1y2x1x2.又x1ty11，x2ty21，所以(ty
8、21)y1(ty11)y2(ty11)(ty21)，所以2ty1y2(y1y2)t2y1y2t(y1y2)1，所以(t22t)y1y2(t1)(y1y2)10，所以(t22t)(2)(t1)2t10，所以2t1，t.故直线AB的方程为2xy20.答案：2xy203设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x22，故直线AB的斜率k1.(2)由y，得yx.设M(x3，y3)，由题设知x31，于是M.
9、设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(1，1m)，|MN|.将yxm代入y，得x22x2m0.由48m0，得m，x1，21.从而|AB|x1x2|2.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m或m(舍)所以直线AB的方程为yx.4已知抛物线C：y2ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解：(1)由抛物线的定义可知|PF|t2t，则a4t，由点P在抛物线上，则at.所以a，则a21，由a0，则a1，故抛物线的方程为y2x.(2)证明：因为A点在抛物线上，且yA1.所以xA1，所以A(1，1)，设过点Q(3，1)的直线l的方程为x3m(y1)即xmym3，代入y2x得y2mym30.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2m，y1y2m3，所以k1k2，为定值7