1、 第二章导数的计算 2（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振 授课时间：2023.10.24 粉笔考研官方微信 1 第二章第二章导数的计算导数的计算 2 2（笔记）（笔记）【注意】隐函数的导数：1.什么叫隐函数：隐函数中 x 和 y 不那么明显，由方程 F（x,y）=0 确定了y=y（x）。比如 x+y=1y=1-x（隐函数的显化）、+xy-e=0y=（有一定难度，就叫做不能显化）就是隐函数。核心就是介绍不能显化的隐函数如何求导。2.与隐函数对应的就是显函数，比如 y=x、y=sinx，y=F（x）这种就是显函数。【注意】方程 F（x,y）=0 两边同时对 x 求导，y 要视为 x 的函数，得到
2、一个关于 y 的方程，解方程算出 y即可。2 3 【解析】例6.+xy-e=0两边同时对x求导，函数只能对自己的自变量求导，前导后不导，后导前不导，e 是常数，具体步骤见上图。如果要算二阶导，可以在一阶导的基础上再对 x 求导。考试一般是考指定点处的导数，比如本题，算x=0 处的导数，可以把 x=0，y=1 的值代入 y，这样比较复杂，可以先算出 y（0）=1，对两边同时求导，具体步骤见上图。方法：依次求导，逐个代值（不需要整理 y）。【解析】例 7.依次求导，逐个代值，先把第一个值代入，y（1）=1，不用整理出 y和 y是什么，具体步骤见上图。4 【注意】如果算指定点处的导数：依次求导，逐个
3、代值。【注意】参数方程的导数：比如 x=x（t），y=y（t），确定了 y=y（x）；x 和y 没有关系，通过中间变量 t 联系在一起。【注意】参数方程的一阶导数：1.函数只能对自己的自变量求导，y 的自变量是 t，求导变量是 x。2.记住一阶导公式。5 【解析】例 8.算一阶导数，直接代入公式，具体步骤见上图。【注意】参数方程的二阶导数：二阶导等于一阶导再对 x 求导，一阶导的自变量是 t，求导变量是 x。只能对自己的自变量求导，再利用反函数的求导法则得到。6 【解析】例 9.要求二阶导，首先算一阶导，整理得4+22+1=2t；二阶导等于一阶导再求导，注意是对 x 求导，具体步骤见上图。【注
4、意】抽象函数的导数：1.不给出解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。2.比如 y=f（x），y=f（x），y=g（lnx），y=h（），y=f（f（x）都是抽象函数。先对外层求导，再乘以内层导数。7 【解析】例 10.先对外层求导，再乘以内层导数，要用到导数的除法法则，复合函数运算：f（）=arctan，具体步骤见上图。【解析】例 11.可以先把复合函数算出来，但是比较复杂，可以直接算他的导数，具体步骤见上图。8 【解析】例 12.不仅是一个抽象函数，还是一个隐函数，y=f（x+y）两边同时对 x 求导，再对一阶导式子两边同时对 x 求导，算出 y之后还需要将 y代入，具体步骤
5、见上图。【解析】例 13.方程中都是 x 对 y 的关系，要化成 y 对 x 的关系，利用反函数的导数，y的自变量是 x，求导变量是 y，将上述结果代入原微分方程，具体步骤见上图。9 【注意】自变量的微分d 自变量。【解析】例 14.要把两个方程中的 x 和 y 都变成 u 和 t，核心是算一阶和二阶导，把这两个式子用 u、t 来表示之后往里代即可。y 的自变量是 u，u 的自变 10 量是 t，t 的自变量是 x；第一步需要用到链式法则，因为后面还要求二阶导，所以一阶导要尽量简单；二阶导是等于一阶导再对 x 求导，中间的三个部分每一项都是 x 的函数，要用到三个函数相乘的求导法则，具体步骤见
6、上图。【注意】高阶导数的计算：基本上每年都有，一道题 5 分，以小题为主。【注意】归纳法。【解析】例 15.求出 f（x）和 f（x），可以排除 C、D 项，求出 f（x），对应 A 项。【选 A】【注意】四阶导用 f（4）（x）表示，n 阶导用 f（n）（x）表示。11 【注意】f（0）=0，f（0）=1，f（0）=3，f（0）=5，f（4）（0）=5，因此 n3 时，f（n）（0）=5。【注意】常用函数的高阶导数公式。12 【解析】例 16.（1）这是一个假分式（分子次数分母次数），思路是变为真分式，具体步骤见上图。红色字体部分为额外举例。（2）把 x 换成 1-2x，其他的不动，代入值进
7、去，具体步骤见上图。13 【注意】莱布尼兹公式：要记住公式，分开的形式也要记住，可以结合二项式展开式来记忆。14 【解析】例 17.方法一：两个不同类的函数相乘，可以利用莱布尼兹公式，如果是两个相同类的函数相乘，就不需要用莱布尼兹公式。直接带入，具体步骤见上图。如果运用得比较熟练，可以简写，是零因子的巧用。方法二：还可以利用泰勒公式做，具体步骤见上图。15 【注意】求导的次数 nk0，nk0。【注意】利用奇偶性：奇函数关于原点中心对称。【解析】例 18.如果一次一次的求很浪费时间，f（x）是偶函数，求导之后 16 f（x）是奇函数，同理，f（x）是偶函数，f（x）是奇函数，所以直接等于0，具体
8、步骤见上图。【解析】补充：2022 年数 3 考过一道。f（x）是偶函数，f（x）是奇函数，f（x）是偶函数，f（x）是奇函数，所以直接等于 0，具体步骤见上图。三阶导也可以用泰勒公式，f（3）（0）=a3*3！=0。【解析】例 19.算 4 阶导，利用奇偶性就不能解决了，4 阶导是偶函数，但又不硬算，可以利用泰勒公式，本题一定是 a4*4！，a4是 x4的系数，按照泰勒公式展开，具体步骤见上图。17 【注意】利用泰勒公式求高阶导数：1.an为（x-x0）的系数。2.几阶导就乘几的阶乘。【解析】例 20.考试时三阶导算高阶导，利用泰勒公式展开，具体步骤见上图。【注意】计算高阶导有以下几个方法：1.抽象函数找规律。2.有规律的七个高阶导数公式。18 3.莱布尼兹公式。4.奇偶性。5.泰勒公式。19 遇见不一样的自己 Be your better self