1、第六章导数的应用 3（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.17粉笔考研官方微信1第六章第六章导数的应用导数的应用 3 3（笔记笔记）【注意】常数不等式和函数不等式是对应的，证明的不等式只有一个自变量x，即函数不等式，常数不等式中没有变量，只有常数。2【解析】例 12.对于后面的不等式中，上式为常数不等式，也可以把 a、b当作变量，这个不等式变量是比较多的。常数不等式有两种思路，要么看作没有变量，要么把里面看成变量比较多。方法一：学习数学一定要有转化的思想，把学过的常数不等式转化为函数不等式，这里需要用到常量变量化，把常量强行写为变量。方法二：不等号左右两边的函数结构一模一样，
2、令 f（x）=xsinx+2cosx+x，0 x，仅需证 0 x时，f（x）单调递增即可。【注意】对于常熟不等式，基本的证明思路有两种：一是将不等式凑成 f（b）f（a）（ba）的形式，证明函数 f（x）在所给的范围内单调递增，也即证明 f（x）0；二是常量变量化，将不等式的某个参数写成 x，使常数不等式转变为函数不等式，再利用单调性证明。3【解析】例 13.常量变量化，把 b 看为 x，可以做，但是不等式比较复杂。拿到一个不等式，如果可以化简要优先化简。看到指数的关系，想到取对数，bae 时，abba成立相当于 bae 时，lna/alnb/b，前面所讲的两种方法均可以用。方法一：令 f（x
3、）=lnx/x，xe，仅需证 xe 时，f（x）单调递减即可。方法二：令 f（x）=lna/a-lnx/x，xae，仅需证 xae 时，f（x）0 即可，f（a）=0，仅需证 xae 时，f（x）单调递增即可。【注意】真题越老越香，目前的真题出题形式都是历年真题的改编+题库抽题，考研的模式基本已经固定，命题人的出题时间只有一周左右，出题的都是大学教授、院士，如果出题时间关得久，很多课题、项目没法参加，对他们的损伤是很大，考研出题对于他们来说是最小的一件事，基本是 7 天，7 天保证每个题目是原创的话就很难，需要抄和改编，每年的真题都具有象征性的意义，尤其是年份比较久远的，赌考生不会去看这些真题
4、。4【解析】例 14.做这种题一定要建立起结论与题干之间的关系。（1）只要让不等式同时在a，x上积分即可。由于 0g（t）1，ta，b，两边同时在a，x上积分，有 0axg（t）dt?x-a，xa，b。（2）有 a、b，为常数不等式，真题中只要分两问，80%的题目第二问会用到第一问的结论，不会做的时候可以看一下第一问。本题只能用常量变量化。【注意】对积分不等式证明的基本思路是把它看成常数不等式，通常将其常5量变量化，变为函数不等式进行证明。【注意】判断方程根的个数：1.函数的零点。2.导数的零点（中值定理进行讲解）。3.理论基础：在单调区间上运用零点定理。求出单调区间，验证单调区间两头是否异号
5、，只要异号就有零点，不异号就没有零点。（1）零点定理：f（x）在a，b连续，若 f（a）f（b）0，则 f（x）在（a，b）内一定有零点，是函数有零点的充分条件而非必要条件。（2）单调性：单调函数如果满足零点定理，有一个零点。如果不满足零点定理，则没有零点（零点定理只能确定函数有零点，具体有多少零点是不知道的）。6【解析】例 15.f（x）=0 有两个根和 f（x）有零点是等价的关系。令 f（x）=4arctanx-x+4/3-3，计算可知该函数没有不可导点，整个驻点把区间分为三个部分，然后确定函数值的符号，每个单调区间分别用零点定理。【注意】讨论或证明方程根的个数需要将单调性与零点存在定理这
6、两个理论结合使用，基本步骤如下：1.确定函数的单调区间。2.确定每个单调区间端点函数值的符号（端点不在定义域内的用极限值代替）。3.在每个单调区间上分别使用零点存在定理。7【解析】例 16.考试时用特殊值做题最快，令 a=b=1，f（x）=x-lnx 如果有两个零点，则可以排除 A、C 项，如果没有两个零点，则可以排除 B、D 项，具体步骤见 PPT。实际学习中可以在单调区间上用零点定理，但是 x=b/a 有参数，不好讨论，求单调区间是确定的，一定是导数中不含参数，要求对于原先函数 f（x）一定要做参变分离。【选 C】【注意】对于含有参数的方程，可以参变分离后，利用单调性讨论。8【注意】1.极
7、值点的定义：设函数 f（x）在点 x0的某领域 U（x0）内有定义，如果对任意的 xU?（x0），有 f（x0）f（x）（或 f（x0）f（x），则称 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值（或极大值）。2.极值：局部范围内的最值。9【注意】1.极值只能在定义域的区间内部取到，必须保证函数在极值点的左、右邻域都要有定义，因此在定义域的区间端点处不能讨论极值。2.极值是局部范围内的最值，极值与函数在整个定义域上的最值是有区别的，一般来说，极值不一定是最值，因为局部的最值不一定是整体的最值；最值也不一定是极值，因为最值可能在区间端点处取到，只有在区间内部取到的最值才一定是极值。3.极值点只要求函数
8、在该点处有定义，并不要求函数在该点连续或者可导，因此极值点处函数可以不可导，也可以不连续。4.注意区分极值与极值点的概念，极值是指函数值 f（x0），极值点 x=x0。5.考试的主要考法：（1）求极值（点）。（2）极值（点）的判定。10【注意】必要条件（费马引理）：设函数 f（x）在 x0处可导，并在 x0处取得极值，那么 f（x0）=0。【注意】1.该定理的前提是函数可导，由于极值点处可以不可导，即极值点不一定是驻点（可导是前提）。2.该定理是必要非充分条件，即驻点不一定是极值点。3.极值点只可能在驻点及不可导点处取到。11【注意】第一充分条件：设函数 f（x）在 x0处连续，且在 x0的某
9、去心领域U?（x0，）内可导。1.若 x（x0，-，x0）时，f（x）0，而 x（x0，+x0），f（x）0，则 f（x）在 x0处取得极大值。2.若 x（x0，-，x0）时，f（x）0，而 x（x0，+x0），f（x）0，则 f（x）在 x0处取得极小值。3.若 xU?（x0，）时，f（x）的符号保持不变，则 f（x）在 x0处没有极值。【注意】第一充分条件可以借助单调性去理解，左增右减为极大值，左减右增为极小值,但一定要保证函数在该点连续。12【注意】第二充分条件：设函数 f（x）在 x0处连续，且 f（x0）=0，f（x0）0，那么：1.若 f（x0）0，则 f（x）在 x0处取得极小值
10、。2.f（x0）0，则 f（x）在 x0处取得极大值。【注意】1.若 f（x0）=0，则 f（x）在 x0处是否取极值未知。2.求极值点：13（1）求导，找所有的驻点和不可导点。（2）利用第一充分条件或第二充分条件验证。【注意】1.连续函数凹凸性的分界点称为拐点。2.凹凸性本质也是单调性，即 f（x）的单调性。3.对于连续函数，单调性的分界点一定是极值点，拐点本身也是极值点，即f（x）的极值点。【注意】1.由于函数 f（x）的凹凸性就是其导函数 f（x）的单调性，所以 f（x）的拐点就是导函数 f（x）的极值点，所以 f（x）的极值点的判定定理可以推广到拐点的判定定理。2.拐点处要求函数连续，
11、这与极值点对函数的要求不同。3.拐点指的是点（x0，f（x0），即坐标。4.拐点判定：拐点本身是导函数极值点，拿极值点的判定定理直接平移即可，只需要把极值点的判定定理所有导数升高一阶，所得到的就是拐点的判定定律。14【注意】1.必要条件：设函数 f（x）在 x0处二阶可导，并且（x0，f（x0）是它的拐点，那么 f（x0）=0（可导函数在极值点处的导数等于 0）。2.注意：与极值点的必要条件类似，拐点只可能在二阶导数为 0 的点以及二阶导数不存在的点处取得。（1）二阶可导为前提。（2）必要非充分条件。（3）拐点的范围：二阶导为 0 的点。二阶导不存在的点。15【注意】1.第一充分条件：设函数
12、f（x）在 x0处连续，且在 x0的某去心领域?（x0，）内二阶可导，若在点 x0的左、右两侧，函数 f（x）的导数异号，则点（x0，f（x0）为函数 f（x）的拐点；若在点 x0的左、右两侧函数 f（x）的二阶导数同号，则点（x0，f（x0）不是函数 f（x）的拐点。2.第一充分条件也可以借助凹凸性去理解，该点的左、右邻域凹凸性不同即为拐点，但是一定要保证函数在该点连续。【注意】1.第二充分条件：设函数 f（x）在 x0处三阶可导，若在点 x0处 f（x0）=0，且有 f（x0）0，则点（x0，f（x0）为函数 f（x）的拐点。2.注意：若 f（x0）=0，则 f（x）在 x0处是否取拐点未
13、知。16【注意】例 17.涉及变限积分求导，核心是处理掉积分号内的 x，具体步骤见 PPT。没有不可导，只有三个驻点，已知单调区间，直接利用第一充分条件。【注意】1.对于极值及拐点的计算或者判断的题目，首先利用必要条件找到可能的极值点和拐点，可能的极值点有驻点及不可导点，可能的拐点有二阶导数为 0 的点及二阶导数不存在的点，找到这些点后再通过充分条件验证。2.不同形式的函数极值点的判别：（1）若能够求出函数的单调区间或者凹凸区间，一般考虑使用第一充分条件进行判断。（2）不易求单调区间或者凹凸区间的函数，如抽象函数或较复杂的函数（隐函数等），区间信息不易得出，而点信息容易得到，所以一般考虑使用第
14、二充分17条件进行判断。【解析】例 18.第一问在第五章极限应用中导数的定义已经计算过。令 f（x）=0，则 x=1/e 或 x=-1，所以 f（x）可能得极值点 x=1/e，x=-1，x=0，如果用第二充分条件，0 点处不可导，故优先使用第一充分条件，注意使用第一充分条件要说明连续。【注意】1.分段函数判断极值，基本用第一充分条件即可。2.f（0）没有必要计算，出于两点考虑，计算 f（0）比较麻烦，甚至有可能不可导，则把分段点当为可能的极值点，只要连续，验证这点左右两端导数符号是否一样，如果两边导数符号一样，不取极值；如果导数符号不一样，取极值。【注意】特别地，对于分段函数，一般选择第一充分条件来判断极值，在分段点处只需判断左、右邻域的单调性就可判断极值，而不需要计算分段点处的导18数，也无须判断该点处是否可导，只要保证函数在该点处连续即可。【解析】例 19.不管是抽象还是具体，第一步是找驻点，求导后，抽象函数用第二充分条件，在 x0处取得极大值，把该点代入小于 0 即可。【选 D】【解析】例 20.涉及隐函数求导，先求驻点，隐函数区间信息一般比较难，用第二充分条件。19【解析】例 21.参数方程求导，直接利用公式，对于参数方程它做题是比较灵活的，求极值用第二充分条件，求拐点用第一充分条件，做题一定要灵活。20遇见不一样的自己Be your better self