1、数学（三）参考答案一、选择题Cl)C 解tanx的麦克劳林展开式为X X+-3 3+o(x),故xtanx-x3,则k=3.故应选C.3 CZ)D 解设f(x)=工55x+k,则厂(x)=5兀45令f1Cx)=O,得x=土1.当X O;当-lxl时，_f(x)l时，f1(x)0.又limf(x)=+=,limf(x)=-=,结合单调性知，f(-l)O,f(l)O,J(l)=l-5+k O,则-4 k 4.故应选D.(3)D 解由薇分方程通解形式可知，y=CC1+C2x)e一工为齐次方程的通解，y=e工为非齐次方程的特解，-1为特征方程入z+a入+b=0的二重根，得2 1a+b =O,且l+a+
2、b=c,a4b=O,由此解得a=Z,b=l,c=4.故应选D.(4)Bu 解因为limI I=O,且nun绝对收敛，由比较判别法可知Un也绝对收敛n-=nu Inee)二a而当2二条件收敛 时,vn的敛散性不定n n-1 n-1 如果令)in=(-厅及)in=(l)=)i时心：二都是条件收敛，ln(n+1)nl n（沁=co 而)in=(-1)发散，-(-1)Fl ln(n+1)收敛，可知(un+l!n)的敛散性是不确定的n-1nl 则C、D都不正确=o,再判断2汇)in的敛散性：由于limI Un)!n I)/n n-=nu I飞弝了=O,且nun绝对收敛，由比较判别法n-1n二,可知区汇）
3、n是绝对收敛的故应选B.nl(5)A 解由线性方程组Ax=O的基础解系中只有2个向械，则2=4r(A),故r(A)=2.由于当r(A)nl时(n 为A的阶数），r(A补）=0.故应选A.(6)C解设入是A的特征值，根据A2+A=ZE得：入z+入2,解得入l或2.2019 2019 年年关注公众号【考研题库】保存更多高清资料由于）A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值，故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2,故二次型xTAx的规范形为Yi丈丈故应选C.(7)C解由P(AB)=P(BA)得p(AB)=p(A)-p(AB)=p(BA)=p
4、(B)P(AB)台P(A)=PCB).故应选C.(8)A解由X-N(伈矿），Y-N(,矿汃且相互独立，X-Y 则E(XY)=O,D(X-Y)=DX+DY=2扎得-N(O,l),屈6故PIX-Y I(上）-1与矿有关，与无关我6迈6迈6故应选A二、填空题(9)e-1解原式=lim(11 1 11 1 n n-=勹丁了厂言寸=!式气飞叶（了忙“一=(士）limn=e 故应填e-1.(IO)(六:,-2)=e-1 解y.+2.=s1nx x cosx-sin冗=x cosx-s1nx,y=cosx-X s1nx-COSX=x s1nx.令y=O,得x1=O,x2=穴，再判断X1,X2两点的左右两侧二
5、阶导数是否异号；在X1左侧yo,右侧yo,故(0,2)不是拐点；Xz左侧yo,所以拐点为（六2).2 故应填（六-2).1(11)(1-2,/2)18 解由分部积分法：x2f1 I 1 1 1 I 3 fJCx)dx3=了x汀ex)Io了Iax 3 J(x)dx,CD(x)dx=-又八1)=五了尸dt=O,J(x)=./i丁了，代入CD式：扣(1)-习lxa汇了-dx=-_!_ 上五言了dx43 0 3 4 0 1 2 3 1 1 飞3Cl+x4)21。飞(1-2迈）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1 故应填一(1-2迈）18(12)0.4解当PB=20时，QA=500Pi20P A+2
6、 202=1300-20P A-Pi,PA dQA凡2PA(PA+10)则f/AA=-=-刁-.(202P A)=_ _ _ _ _ _ QAdPA-?所以f/AAI=0.4.故应填0.4.PA=10(13)1解由题意得:.-(:。1 汇(。1)-(。1 1 1 1。1。1 a2-1 a 0 1 a2-1 a 0。a2-1 要使Ax=b有无穷多解，则应使r(A)=r(A)3,当azl=a1=O,即a=l时，r(A)=r(A)=2 3.故应填1.I 101-a 2_3、丿4 1（X 由随机变量X的概率密度f(x)=仁-,Ox2,l 可知X的分布函数o,其他，厂X Q,2 2 F(X)l了,Ox
7、EX-1=PF i_1=P卢1 3 4 3 解=PX纠寸王dx=屈左23.故应填.2 3 三、解答题(15)解当XO时，J(x)=2x气lnx+1);当X 0,ex(x+1),X 0.令J(x)=0,得驻点x=l,x=一1 e 1 当xl或Ox一时，J(x)O;关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1 当Ix时，j(x)0.e 所以f(x)在区间(邑-1)和(o且）内单调减少，e 在区间(1,0)和（上，十内单调增加，从而f(x)的极小值为e）1 1二f(1)=1,!()=e极大值为f(O)=1.e e(16)解因为ag ax=y-J.(x+y,xy)f,(x+y,x-y),ag=x ayJ.
8、(x+y,x-y)+J,(x+y,x-y),臼仁(x+y,x-y)2儿(x+y,xy)-几(x+y,xy)a2g=1J (x+y,x-y)十几(x+y,x-y),a戎ya2g ay2 J (x+y,xy)+2儿(x+y,x-y)儿(x+y,x-y),所以a2 g a2 g a2 g+-=13f (x+y,x-y)儿(x+y,xy).ax2 a戎Yay2(17)解C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得y(x)=i心(C+f l ee-f x扛心）=e(石+C).2石因为y(l)=心，所以C=O.已从而y(x)=rx矿(II)D绕x轴旋转所得旋转体的体积为V=f:rcy2(x)心=f rcx e
9、x2 dx=王exz12=王(e4e).21 2(18)解由题意，所求面积为+=s=I-x（叶1).e I SlllX I dx=(1)f亡sinx心，n-0 吓因为(n+l)穴(n+l)穴n+D亢尸sinxdx=-e-x cosx I-f e-x cosx心九亢“兀n穴得所以=(-l)e一(n+I)穴十e-n穴J厂I)亢e-xsinxdx.n穴厂1)兀尸sinxdx=(-1)e一（叶!),十e-n亢Jn兀21 S=-n兀一(n+ll六e穴+12 e+e n-。2(e六-1)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(19)解(I)a.+1-a.=f x(x1),Ji-=了dx.因为在积分区间0,
10、1上，x(x1).jj二7o且不恒等于o,所以a.+1-a.O,所以-l,从而Jim-=1.n+2 a,_1.-,a,一1(20)解由等价的定义可知：P1,P2,Pa都能由a1,a2,aa线性表示，则有r(a1,a2,a3)=r(a1,a2,a:1,p口，2,Pa),对Ca1,a2,aa,P1,P2,Pa)作初等行变换可得：(:)-(1:4 4 a2+3 i a+3 1a a2+3 0 0 a2-1 当a=1时，有r(a1,a2,aa)r(a1,a2,aa,Pi,P2,凡）；当a=l时，有r(a1,a2,aa)=r(a1,a2,aa,P1,P2,Pa)=2;可知a#l且a#-l时，此时r(a口
11、a2,a3)=r(a1,a2,as,P1,P2,Pa)=3,则有a=l或者a#l且a#1时，Pi,P2,Pa可由a1,a2,aa线性表示，此时要保证a门a2,aa可由P口，2,Ps线性表示对CP1,P2,Ps,a1,a2,as)作初等行变换可得：(:a+3 l-a a2+3 1。a-l 0 1 2 2)l-a a2-l:!)-4 4 a2+3:矿-1当a=l时，有r(P1,Pz,p3)=rP1,Pz,p3,a1,az,a3)=2,可知当a-=I=-l且a-=/=-l时，此时r(P口，2,p3)=rCP1,Pz,p3,a1,az,a3)=3,此时，a1,az,a3可由P1,Pz,p3线性表示12
12、1 1。1a 1 3(1a)2 2aaI l 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料综上所述：当a#-1时，向量组O心心与向最组P1,P2,p3可相互线性表示当a,c 1时，(a,心心，-(:;-;10 0 a2-l:则P3=a 1a2+a3.aJ(0 1 i 1)当a1时，(a,心心,p,)-(.:0 0 0-(:!-:l-I 2 30基础解系为(一：2)(k E R),则P,32k)a,I Ck2)a,+-ka,.(21)解C I)因为矩阵A与B相似，所以tr(A)=tr(B),I A曰BI,即x-4=y+l,解得X=3,y=2.4x-8=2yC II)矩阵B的特征多项式为I入E-BI=(
13、入2)(入十1)(入+2)所以B的特征值为21,-2.由于A与B相似，所以A的特征值也为2,-1,-2.A的属于特征值 2的特征向量为f1=0,-2,0)勹A的属于特征值-1的特征向量为名（2,1,0)勹A的属千特征值-2的特征向量为名=Cl,-2,4)T 记P,(名主屯），于是PtAP,(i)0 02 B的属千特征值 2的特征向量为r;1=(1,0,0)勹B的属于特征值-1的特征向量为f/2=(1,-3,0)勹B的属于特征值-2的特征向量为平=(O,O,l)T.记P,(,平，平汃于是P;BP,(_I).0 0-2 由P-;-1AP1=P;1BP2,得CP1P;1)-1A(P1P;-1)=B.
14、-z):1:F2令PP,P;(。2 2 3 1 1。4 3。1:)则P-1AP=B.(22)解CI)z的分布函数为凡(z)=PZ冬z=PXY冬z I Y=lP Y=l+PXY,s;z I Y=lPY=l ppX冬z+(1p)PX,s;z.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料当zO时，凡(z)=pP X泛-z+(1-p)0=p e2;当z彦0时，凡(z)=p I+Cl-p)P Xz=1-Cl-p)e气所以Z的概率密度为fz(z)=F卢z)=pe之，z O,PZ l o,所以PX冬l,Z冬-1#PXlPZ-1.故X与Z不相互独立(23)解C I)由厂f(x矿）dx=I,得-w l=厂汇了心=AJ
15、:卜e-dtCJ=A 三上e.;dt=三A,2=If;2 所以A=.(I)设Xi,Xz，:r为样本X1,X2,，义的观测值，则似然函数为n(x-)2 n-,i L(矿）=ITf(x,;矿）六卢）券（矿）2 e;-1 202,I lo 对数似然函数为n 21 lnL(矿）=In n 2 n 了；了lnr,2矿(x,-)2.d lnL(r,2)n n z.(x,-)气=-+2 dr,加2矿,IX1,Xz,x,多,其他，n 令d lnL(矿）da2 2 A 2 1 o,得6的最大似然估计值为(J=(x,)气niI 所以矿的最大似然估计最为矿1n(X,)飞n,1 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料