1、第 1 页 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)设 nx是数列,下列命题中不正确的是()(A)若limnnxa,则 221limlimnnnnxxa(B)若221limlimnnnnxxa,则limnnxa(C)若limnnxa,则 331limlimnnnnxxa(D)若331
2、limlimnnnnxxa,则limnnxa(2)设函数 f x在,内连续,其 2 阶导函数 fx的图形如右图所示,则曲线 yf x的拐点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(3)设2222,2,2Dx y xyx xyy,函数,f x y在D上连续,则,d dDf x yx y()(A)2cos2sin420004dcos,sinddcos,sindf rrr rf rrr r(B)2sin2cos420004dcos,sinddcos,sindf rrr rf rrr r(C)210112d,dxxxf x yy(D)21202d,dx xxxf x yy(4)下列级数中发散的是()
3、(A)13nnn(B)111ln(1)nnn(C)2(1)1lnnnn(D)1!nnnn第 2 页(5)设矩阵21111214aaA,21ddb.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad(6)设二次型123,f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,)Pe e e，若132(,)Qee e则123(,)fx xx在正交变换xQy下的标准形为()(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy(7)若,A B为任意两个随机事件,则:()(
4、A)P ABP A P B(B)P ABP A P B(C)2P AP BP AB(D)2P AP BP AB(8)设总体,XB m12,nX XX为来自该总体的简单随机样本,X为样本均值,则21niiEXX()(A)11mn(B)11m n(C)111mn(D)1mn二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)20ln(cos)lim_.xxx(10)设函数()f x连续，20()()d,xxxf tt若(1)1,(1)5,则(1)_.f(11)若函数(,)zz x y由方程23e1xyz
5、xyz确定，则(0,0)d_.z(12)设函数()yy x是微分方程20yyy的解，且在0 x 处取得极值 3，则大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 3 页()_.y x(13)设 3 阶矩阵A的特征值为2,2,1，2,BAAE其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式_.B(14)设二维随机变量(,)X Y服从正态分布(1,0;1,1;0)N，则0_.P XYY三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸
6、请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数3()ln(1)sin,()f xxaxbxx g xckx.若()f x与()g x在0 x 时是等价无穷小，求,a b k的值.(16)(本题满分 10 分)计算二重积分()d dDx xyx y，其中222(,)2,.Dx y xyyx第 4 页(17)(本题满分 10 分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC 为边际成本，为需求弹性(0).(I)证明定价模型为11MCP；(II)若
7、该商品的成本函数为2()1600C QQ，需求函数为40QP，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分 10 分)设函数()f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且(0)2f，求()f x表达式.(19)(本题满分 10 分)（I）设函数(),()u x v x可导，利用导数定义证明()()()()()();u x v xu x v xu x v x（II）设函数12(),(),()nu x u xu x可导，12()()()()nf xu x u xu x，写出()f
8、 x的求导公式.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 5 页(20)(本题满分 11 分)设矩阵101101aaaA=，且3AO.(I)求a的值；(II)若矩阵X满足22XXAAXAXAE，其中E为 3 阶单位矩阵，求X.(21)(本题满分 11 分)设矩阵02313312a A相似于矩阵12000031bB=.(I)求,a b的值；（II）求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵.第 6 页(22)(本题满分 11 分)设随机变量X的概率密度为 2ln2,00,0 xxf xx,对X进行独立重复的观测,直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数(I)求Y的概率分布；(II)求()E Y.(23)(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为,1,(,),xf x110其他,其中为未知参数，12nX,X,X为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214