1、11996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1 lndxxy【解析】方法 1方法 1：方程yxy两边取对数得lnlnlnyxyyy,再两边求微分,11ln1ln1dxydydydxxxyln10 xy.方法 2：方法 2：把yxy变形得lnyyxe,然后两边求微分得lnln1 ln1 lnyyydxed yyyy dyxy dy,由此可得1.1 ln
2、dydxxy(2)【答案】32113xC【解析】由()arcsinxf x dxxC,两边求导数有2211()arcsin1()1xf xxxxf xx,于是有1()dxf x2221112xx dxx dx221112x dx 32113xC.(3)【答案】0ca(或20axc),b任意【解析】对2yaxbxc两边求导得0022yaxb,yxaxb,所以过00 x,y的切线方程为0002yyaxbxx,即200002yaxbxcaxbxx.又题设知切线过原点0 0,把0 xy代入上式,得2200002axbxcaxbx,即20axc.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2由于系数0a,所以
3、,系数应满足的关系为0ca(或20axc),b任意.(4)【答案】1 0 00T,【解析】因为A是范德蒙行列式,由ijaa知0ijAaa.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TA XB有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa ,易见1230nDA,DDD.所以TA XB的解为12310nx,xxx,即1 0 00T,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb或简记为11
4、 2nijjija xb,i,n其系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa,则方程组有唯一解1 2jjDx,j,n.D其中jD是用常数项12nb,b,b替换D中第j列所成的行列式,即关注公众号【考研题库】保存更多高清资料31111111121212212111,j,jn,j,jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa.(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9,对正态总体的数学期望进行估计,可根据因2(,0.9)XN,设有n个样本,样本均值11niiXXn,有20.9(,)XNn,将其标准化,由公式(
5、)(0,1)()XE XND Xn得：(0,1)1NnX由正态分布分为点的定义211XPun 可确定临界值2u,进而确定相应的置信区间22(,)xuxunn.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22,xuxunn,其中21,(0,1)P UuUN,可以直接得出答案.方法 1：方法 1：由题设,10.95,可见0.05.查标准正态分布表知分位点1.96.2u本题9n,5X,因此,根据1.960.951nXP,有51.960.9519P,即4.4125.5880.95P,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料41xyO1212故的置信度为 0
6、.95 的置信区间是(4.412,5.588).方法 2：方法 2：由题设,10.95,222222()10.95,()0.975P UuPuUuuu 查得1.96.2u20.9,9n,5X 代入22(,)xuxunn得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法 1方法 1：由题设知,
7、积分区域在极坐标系cos,sinxryr中是,|0,0cos,2Drr即是由221124xy与x轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是 1,下边界方程是0y,上边界的方程是2yxx,从而D的直角坐标表示是201 0Dx,y|x,yxx,故(D)正确.方法方法 2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为1,|0,0sin,2Drr而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形01 01x,y|x,y,所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数21nnu和21nnv都收敛,
8、可见级数221nnnuv收敛.由不等式222nnnnu vuv关注公众号【考研题库】保存更多高清资料5及比较判别法知级数12nnnu v收敛,从而12nnnu v收敛.又因为2222nnnnnnuvuvu v,即级数21nnnuv收敛,故应选(A).设2111 2nnu,vn,n,可知(B)不正确.设2111 2nun,nn,可知(C)不正确.设1111 2nnnu,vn,nn,可知(D)不正确.注：注：在本题中命题(D)“若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuv n,则级数1nnv也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.
9、这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAA AA E,现将A视为关系式中的矩阵A,则有()AAA E.方法一方法一：由1nAA及1()AAA,可得121()().nnAAAAAAAA 故应选(C).方法二方法二：由()AAA E,左乘A得1()()nAAAAA,即1()()nA EAAA.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,s 线性无关,即若1 1220ssxxx,必有120,0,0sxxx.既然1,m与1,mkk不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B
10、)、(C).一般情况下,对于1122110,sssskkkll关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6不能保证必有11220,sskkk及110,ssll故(A)不正确.由已知条件,有1111110mmmmmmkk,又1,m与1,mkk不全为零,故1111,mmmm线性相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】依题意12121212)(,.()()()()()PAABP ABP A BP ABA BP ABP A BP BP BP BP BP B因()0P B,故有1212)(P ABA BP ABP A B.因此应选(B).注注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任
11、何事件B都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A应满足12()0,()0P AP A,且12,A A是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P ABP B AP A.三、(本题满分 6 分)三、(本题满分 6 分)【解析】(1)由于()g x有二阶连续导数,故当0 x 时,()f x也具有二阶连续导数,此时,()fx可直接计算,且()fx连续；当0 x 时,需用导数的定义求(0)f.当0 x 时,22()()()()(1)().xxxx g xeg xexg xg xxefxxx当0 x 时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)liml
12、imlim222xxxxxxg xeg xegxegfxx洛洛.所以2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg xg xxexxfxgx(2)()fx在0 x 点的连续性要用定义来判定.因为在0 x 处,有200()()(1)lim()limxxxxg xg xxefxx关注公众号【考研题库】保存更多高清资料70()()()(1)lim2xxxg xxgxg xexex0()(0)1lim(0)22xxgxegf.而()fx在0 x 处是连续函数,所以()fx在(,)上为连续函数.四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分)【解析】由()zf u可得(),()zuzuf uf uxx
13、yy.在方程()()xyuup t dt两边分别对,x y求偏导数,得()(),()().uuuuup xup yxxyy所以()(),1()1()up xup yxuyu.于是()()()()()()()01()1()zzp x p yp x p yp yp xf uxyuu.五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法 1:方法 1:因为21(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee分部积分1(1)1111ln(1),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe所以20limln(1)ln
14、2.(1)1xxxxxxxexedxeee而limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxexeeeeeelimln(1)1xxxxxexee关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8lim001xxxe,故原式ln2.方法 2:方法 2:220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee 00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分)【分析】由结论可知,若令()()xxf x,则()()()xf xxfx.因此,只需证明()x在0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】
15、令()()xxf x,由积分中值定理可知,存在1(0,)2,使1122001()()()2xf x dxx dx,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2fxf x dx 于是(1)(1)(),f 且()x在(,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),使得()0,即()()0.ff【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x在积分区间,a b上连续,则在,a b上至少存在一个点,使下式成立：()()()baf x dxfbaab.这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：如果函数()f x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间a,b内可导；关注公众号【考研题
16、库】保存更多高清资料9(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f af b,那么在a,b内至少有一点(ab),使得 0f.七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数 0fx,则函数 f x单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则22(),().abc pbaRpQpc R ppbpb令0,R 得0()0abbpbabccc.当0()bpabcc时,0R,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加.当()bpabcc时,有0R,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少.(2)由(1)可知,当()bpabcc时,销售
17、额R取得最大值,最大销售额为2max()abaRbcabccabc.八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分)【解析】令yzx,则dydzzxdxdx.当0 x 时,原方程化为21dzzxzzdx,即21dzdxxz,其通解为21ln(1)lnzzxC 或2C1zzx.代回原变量,得通解22(0)yxyC x.当0 x 时,原方程的解与0 x 时相同,理由如下:令tx,于是0t,而且222222yxyyxyytydydy dxdydtdx dtdxxxt .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料10从而有通解22(0)ytyC t,即22(0)yxyC x.综合得,方程的通解为22yxy
18、C.注：注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx后得2221xyxz,从而,应当分别对0 x 和0 x 求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分 8 分)九、(本题满分 8 分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】(1)因为3是A的特征值,故3100130031 3138(2)0,003113110011yEAyy所以2y.(2)由于TAA,要2()()TTAPAPP A P,而21000010000540045A是对称矩
19、阵,故可构造二次型2Tx A x,将其化为标准形Tyy.即有2A与合同.亦即2TP A P .方法一：方法一：配方法.由于22222123434558Tx A xxxxxx x22222212334444222212344816165()55255495(),55xxxx xxxxxxxxx那么,令1122334444,5yx yxyxxyx即经坐标变换关注公众号【考研题库】保存更多高清资料111122334410000100,400150001xyxyxyxy有222221234955Tx A xyyyy.所以,取10000100400150001P,有211()()595TTAPAPP A
20、 P.方法二：方法二：正交变换法.二次型22222123434558Tx A xxxxxx x对应的矩阵为21000010000540045A,其特征多项式2310000100(1)(9)00540045EA.2A的特征值12341,1,1,9.由21()0EAx,即123400000000000044000440 xxxx ,和24()0EAx,即123480000080000044000440 xxxx ,分别求得对应1,2,31的线性无关特征向量关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)TTT,和49的特征向量4(0,0,1
21、,1)T.对123,用施密特正交化方法得123,再将4单位化为4,其中：12341111(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,),(0,0,)2222TTTT.取正交矩阵123411100001000000,221122P ,则1221119TP A PP A P,即211()()19TTAPAPP A P.十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分)【解析】证法 1：证法 1：(定义法)若有一组数12,tk k kk使得1122()()()0,ttkkkk(1)则因12,t 是0AX 的解,知0(1,2,)iAit,用A左乘上式的两边,有12()0tkkkk A.(2)由于0
22、A,故120tkkkk.对(1)重新分组为121122()0tttkkkkkkk.(3)把(2)代入(3)得11220ttkkk.由于12,t 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,0tkkk.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料13代入(2)式得:0k.因此向量组12,t 线性无关.证法 2：证法 2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1 倍分别加至其余各列,有1212,.tt 因此1212,.ttrr 由于12,t 是基础解系,它们是线性无关的,秩12,trt,又必不能由12,t 线性表出(否则0A),故12,1trt .所以12,1.trt 即向量组12,t 线性无关
23、.十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分)【解析】设一周 5 个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即(5,0.2)B.由二项分布的概率计算公式,有500.80.32768,P X 14510.80.20.4096,P XC232520.80.20.2048,P XC310120.05792.P XP XP XP X 设一周内所获利润Y(万元),则Y是X的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.XXYf XXX若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,10 0.327685 0.40962 0.057925.20896EY (万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计
24、算公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.2.离散型随机变量数学期望计算公式：1()nkkkE XxP Xx.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料14十二、(本题满分 6 分)十二、(本题满分 6 分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为 36.设事件1A“方程有实根”,2A“方程有重根”,则221404BABCC.用列举法求有利于iA的样本点个数(1,2i),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24BC 尽可能的成立,则需要B越大越好,C越小越好.当B取遍 1,2,3,4,5,6 时,统计C可能出现的点数有多少种.B123
25、456有利于1A的样本点数012466有利于2A的样本点数010100由古典型概率计算公式得到11246619(),3636pP A21 11().3618qP A【相关知识点】古典型概率计算公式：().iiAP A 有利于事件 的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分)【解析】依题意,12,nXXX独立同分布,可见22212,nXXX也独立同分布.由(1,2,3,4)kkEXa k及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().iiiinnniniiiEXaDXEXEXaaEZEXaDZDXaannn因此,根据中心极限定理2242()nnZaUaan的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时,nZ近似服从参数为2422(,)aaan的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,nXXX独立同分布,方差存在,记与20 分别是它们关注公众号【考研题库】保存更多高清资料15相同的期望和方差,则对任意实数x,恒有11lim()(),niniPXnxxn 其中()x是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D XE XEX.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料