1、 数学(二)试题 第 1 页(共 13 页)2013 年全国硕士研究生入学统一考试 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)设cos1sin()xxx,其中()2x,则当0 x 时,()x是()(A)比x高阶的无穷小 (B)比x低阶的无穷小(C)与x同阶但不等价的无穷小 (D)与x等价的无穷小(2)设函数()y
2、f x由方程1lncosxyxy确定,则2lim()1nn fn()(A)2 (B)1 (C)1 (D)2(3)设函数sin,0()=2,2xxf xx,0()()xF xf t dt,则()(A)x 是函数()F x的跳跃间断点(B)x 是函数()F x的可去间断点(C)()F x在x处连续但不可导 (D)()F x在x处可导(4)设函数111,1(1)()=1,lnxexf xxexx,若反常积分1()f x dx收敛,则()(A)2 (B)2 (C)20 (D)02(5)设()yzf xyx,其中函数f可微,则xzzy xy()(A)2()yfxy (B)2()yfxy (C)2()f
3、xyx (D)2()f xyx(6)设kD是圆域22(,)|1Dx yxy在第k象限的部分,记()(1,2,3,4)kkDIyx dxdy k,则()(A)10I (B)20I (C)30I (D)40I (7)设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若BCAB且,可逆,则()(A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价(B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价(C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价(D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 数学(二)试题 第 2 页(共 13 页)(8)矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为(A
4、)a0,b2(B)为任意常数ba,0(C)0,2ba(D)为任意常数ba,2 二、填空题:二、填空题:9 14 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分,请将答案写在答题纸分,请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)xxxx10)1ln(2lim (10)设 函 数1()1xtf xe dt,则()yf x的 反 函 数1()xfy在0y 处 的 导 数0ydxdy (11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为cos3()66r,则 L 所围成的平面图形的面积为 (12)曲线2arctanln 1xtyt上对应于1t 的点处的法线方程为 (13)已知321xxyexe,22xxye
5、xe,23xyxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解,该方程满足条件00 xy01xy的解为y (14)设ijA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵,|A|为 A 的 行 列 式,ijA为ija的 代 数 余 子 式,若ijijaA0(i,j1,2,3),_A则 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 13 页)三、解答题:三、解答题:1523 小题,共小题,共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在
6、答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)当0 x 时,1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小,求n与a的值。(16)(本题满分 10 分)设D是由曲线13yx,直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形,,xyV V分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若10yxVV,求a的值。(17)(本题满分 10 分)设平面内区域D由直线3,3xy yx及8xy围成.计算2Dx dxdy。(18)(本题满分 10 分)设奇函数()f x在 1,1上具有二阶导数,且(1)1f.证明:(I)存
7、在0,1(),使得()1f;(II)存在h(-1,1),使得()()1ff。数学(二)试题 第 4 页(共 13 页)(19)(本题满分 11 分)求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。(20)(本题满分 11 分)设函数xxxf1ln)(,(I)求()f x的最小值(II)设数列 nx满足11ln1nnxx,证明limnnx存在,并求此极限.(21)(本题满分 11 分)设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe,(1)求L的弧长;(2)设D是由曲线L,直线1,xxe及x轴所围平面图形,求D的形心的横坐标。大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 htt
8、p:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 13 页)(22)(本题满分 11 分)设101,101aABb,当,a b为何值时,存在矩阵C使得ACCAB,并求所有矩阵C。(23)(本题满分 11 分)设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x,记112233,ababab。(I)证明二次型f对应的矩阵为2aaT+bbT;(II)若,正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。