1、11990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3nnnn.3(3)(3)lim()lim13nnnnnnnnnnnnnnnnnn3lim3nnnnnnnnn,再分子分母同时除以n,有原式4lim3111nnn.因为lim0nan,其中a为常数,所以原式42.1 1(2)【答案】ba【解析】由于()F x在0 x 处连续,故0(0)lim()xAFF x.0lim()x
2、F x为“00”型的极限未定式,又()f x在点0处导数存在,所以00()sin()coslimlim1xxf xaxfxaxAbax.【相关知识点】函数()yf x在点0 x连续：设函数()yf x在点0 x的某一邻域内有定义,如果00lim()(),xxf xf x则称函数()f x在点0 x连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22xx,解得1x 和2x,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为2212Sxxdx223111124.232xxx(4)【答案】12340aaaaxyO21关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2【解析】由于方程组有解()()r A
3、r A,对A作初等行变换,第一行乘以1加到第四行上,有11223341411001 100 01100 11000110 011 10010101aaaaaaaaa,第二行加到第四行上,再第三行乘以1加到第四行上,有112233123412411001100011011000111100110aaaaaaaaaaaaa.为使()()r Ar A,常数1234,a a a a应满足条件:12340aaaa.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12
4、,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解()().r Ar An（2）有无穷多解()().r Ar An（3）无解()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数804,81np的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p,它是至少命中一次的对立事件.依题意48012(1)118133ppp .本题的另一种分析方法是用随机变量
5、X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一次射击的命中率,则(4,)XBp,依题意关注公众号【考研题库】保存更多高清资料341101,81kP XP Xk 即412(1).813pp【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin2lim2xxx ee,而2limtanxx,所以,sin2limtanxxxx e,故()f x无界.或考察()f x在2(1,2,)4nxnn的函数值,有22lim
6、()limnnnnf xx e,可见()f x是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sinsinfefe,知(A)不正确；由0044f,f,而 00f,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设 sinxg xtanx e,于是 g x的定义域为01 22Dx|xk,k,且 g x的全部零点为01 2nxn,n,.若 f xxg x以T0T 为周期,则有 xT g xTxg x,xD.令0 x,有 0Tg T,即 0g T.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是 xg x的周期.代入即得,对xD 有 222xkg xkxkg xxg x.这表明 20k g x在
7、xD上成立,于是 0g x 在xD上成立,导致了矛盾.故关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4 f xxg x不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim()xxf xA,0lim()xxg xB,则有0lim()()xxf xg xAB.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1tx或按定义由关系式(1)()fxaf x将()f x在1x 的可导性与()f x在0 x 的可导性联系起来.令1tx,则()(1)f taf t.由复合函数可导性及求导法则,知()f t在1t 可导,且11()(1)(1)(0)ttf taf ttafab,因此,应选(D).【相关知识点】复合函
8、数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx或dydy dudxdu dx.(3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,s 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,s 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“
9、12,s 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,)iis可以由111,iis线性表出.”或由“12,s 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,)iis均不能由111,iis线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于BA,所以ABA,于是有 P ABP A.故本题选 A.对于 B 选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以 P ABP B,而不是 P ABP A,故 B 错.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料5对于 C 选项,因为BA,由条件概率公式()()P ABP B AP A,当,B A是相互独立的事件时,才会有 P B AP B；所以 C 错.对于 D 选
10、项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故0P BA,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有1,11,1P XYP XYP XY 1111P XP YP XP Y 1111122222.故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)(1)【解析】在2,xe e上,22lnln()0211xxI xxxx,故
11、函数()I x在2,e e上单调增加,最大值为2()I e.由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx,有2222ln1()ln11eeeetI edttdtt 2222lnln11()1111eeeeeeeetdttdttt tttt 2221ln(1)2ln(1)111eeee 11ln1eee.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料62.假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx或者.udvu
12、vvdu(2)【解析】区域D是无界函数,设0,0,32byyDDybx yybx,不难发现,当b 时有bDD,从而222203limlimbybyyyybbDDxedxdyxedxdyedyxdx20111lim()249bybyy edy2220055lim lim72144bbytbbyedytye dt255lim(1).144144bbe(3)【解析】因系数21(1,2,)nann,故2212211limlimlim111nnnnnnanann,这样,幂级数的收敛半径11R.因此当131,x,即24x时级数绝对收敛.当2x 时,得交错级数211(1)nnn；当4x 时,得正项级数211
13、nn,二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,4.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1nlimnnaa,其中1,nna a是幂级数0nnna x的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1,0,0,0,.R 29yx24yxOxy关注公众号【考研题库】保存更多高清资料72.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)nnnu满足：(1)1,1,2,;nnuun(2)lim0.nnu则11(1)nnnu收敛,且其和满足1110(1),nnnuu余项1.nnru3p级数：11pnn当1p 时收敛；当1p 时发散.(4)【解析】方法 1:方法 1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
14、coscossinlnxdxxdxxyeexedxCsinsinln lnxxexdxCexxxC.方法 2:方法 2:用函数()cossinP x dxxdxxeee同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sinxe,得sinsinsinsincos()()lnxxxxeyyexyeyex,再积分一次得sinlnlnxyeCxdxCxxx.最后,再用sinxe同乘上式两端即得通解sin lnxyexxxC.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yP x yQ x的通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分 9 分)四、(本题满分 9
15、 分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为221212121215 14328210()xxx xxxxx2212121215 13318210.xxx xxx由多元函数极值点的必要条件,有1211212248130,0.75,1.25.820310,xxxxxxxx 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用 0.75 万元,报纸广告费用 1.25 万关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8元可获最大利润.(2)若广告费用为 1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)2212121215 13318210,xxx xxx在121.5xx时的条件最大值.拉
16、格朗日函数为221212121212(,)15 13318210(1.5),L x xxxx xxxxx由1211221248130,820310,1.50LxxxLxxxLxx 120,1.5.xx因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)zf x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x yf x yx y其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxyyfx yx yfx
17、yx yx y由这方程组解出,x y及,这样得到的(,)x y就是函数(,)f x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点.五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分)【解析】方法 1:方法 1:当0a 时,()()()()f abf bf af b,即不等式成立；若0a,因为2121 ()()()(0)()()()(0)()()()(),f abf af bff abf bf affafaa ff其中120abab.又()fx单调减少,故21()()ff.从而有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9()()()(0)0f abf af bf,即()()()f abf af b.方法
18、 2:方法 2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数令()()()(),0,F xf xf af ax xb,由于(0)0f,所以(0)0F,又因为()()(),F xfxfax且0a,()fx在(0,)b单调减少,所以()0F x,于是()F x在0,b上单调递增,故()(0)0F bF,即()()()f abf af b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足在闭区间,a b上连续；在开区间,a b内可导,那么在,a b内至少有一点()ab,使等式()()()()f bf afba成立.六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8
19、 分)【解析】本题中,方程组有解()()r Ar A.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以3、5分别加到第二、四行上,有111111111132113001226301226012265433120122625aaabba,第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘1,有1111112263.322aabaa(1)当30ba且220a,即1,3ab时方程组有解.(2)当1,3ab时,方程组的同解方程组是1234523451,2263,xxxxxxxxx由()523nr A,即解空间的维数为 3.取自变量为345,x x x,则导出组的基础解系为123(1,2,1,
20、0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)TTT.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料10(3)令3450 xxx,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是1 12233kkk,其中123,k k k为任意常数.【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,则Axb的通解形式为1 122,kk其中12,是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解.七、(本题满分 5 分)七、(本题满分 5 分)【解析】若A、B是n阶矩阵,且,ABE则必有.BAE于是按可逆的定义知1AB.如果对特征值熟悉,由0kA 可知矩阵A的特征值全是 0,从而EA的特征值
21、全是 1,也就能证明EA可逆.由于0kA,故21()kkkEAEAAAEAE.所以EA可逆,且121kEAEAAA.八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分)【解析】(反证法)若12XX是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：1212()()A XXXX.由已知又有12121122()A XXAXAXXX.两式相减得1122()()0XX.由12,知12,不全为 0,于是12,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12XX不是A的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征
22、值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分 4 分)九、(本题满分 4 分)【解析】样本空间含样本点总数为310C；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件1A的样本点数为38C；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料11有利于事件2A的样本点数为33982CC；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A被加了两次,所以应该减去38C.由古典型概率公式,3813107();15CP AC33982310214()15CCP AC.【相关知识点】古典
23、型概率公式：()iiAP A 有利于事件 的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分 5 分)十、(本题满分 5 分)【解析】(1)由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim0,axxe(a为常数)有X和Y的边缘分布函数分别为0.51,0,()(,)lim(,)0,0;xXyexFxF xF x yx 若若0.51,0,()(,)lim(,)0,0.yYxeyFyFyF x yy 若若由于对任意实数,x y都满足(,)()()XYF x yFx Fx.因此X和Y相互独立.(2)因为X和Y相互独立,所以有0.1,0.10.10.1P XYP XP Y0.050.050.11(0.1)1(0.1)XY
24、FFeee.十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出与2的值,再去计算有关事件的概率.设X为考生的外语成绩,依题意有2(,)XN,且72,但2未知.所以可标准化得72(0,1)XN.由标准正态分布函数概率的计算公式,有96722496196110.023,P XP X 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12241 0.0230.977.查表可得242,12,即2(72,12)XN,72608412(1)10.68212XPXP .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料