1、23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）12023 考研数学冲刺讲义考研数学冲刺讲义-高等数学高等数学第一部分第一部分 极限极限例 1.已知 0f 存在，求满足 1fxfyfxyfx fy的函数 f x.例 2.求3201 coscos2cos3limxxxxx.例 3.设2245001limxtxabedtcxxx.求,a b c.例 4.设 f x在0,上连续，0f x dx收敛，求 01limyyxf x dxy.例 5.依次求解以下问题：（1）证明方程210 xnex有唯一实根nx（0,1,2,n）.（2）证明limnnx存在，并求其值A.（3）证明当n 时，nxA与1n是同阶无穷小.例
2、6.设0a，10 x，13134nnnaxxx1,2,n，求limnnx.23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）2例 7.设 f x处处可导，且 201kfxx（0k 为常数），又设0 x为任意一点，数列 nx满足1nnxf x1,2,n，证明：当n时，数列 nx的极限存在.例 8.设12010,1,2,nnaxx dx n.（1）证明 na单调减少且212nnnaan；（2）求1limnnnaa.第二部分第二部分 一元微分学一元微分学一、几何应用一、几何应用例 1.设 22213fxxxx，问：f x由几个极值？几个拐点？例 2.求椭圆223xxyy上纵坐标最大与最小的点.二、中值定理二、中值
3、定理例 3.设 f x在,a b上连续，在,a b内可导，且 0f a f b，02abf a f.证明：,a b，使 ff.例 4.已知 f x在,a 上连续，在,a 内可导，且 limxf xf a.证明：,a，使 0f.23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）3例 5.设 yf x在1,1内具有二阶连续导数，且 0fx.（1）证明：对于1,1内任一非零x，存在唯一的 0,1x，使 0f xfxfx x；（2）求 01lim2xx.例 6.设 f x三阶可导，且 0fa，22faxaxaf xf afaxa，01.证明：1lim3xa.例 7.设 f x在0,1上具有二阶导数，且 fxa，fx
4、b，其中,a b均为非负常数，c是0,1内任意一点，证明：22bfca.三、微分不等式及函数零点三、微分不等式及函数零点例 8.已知 f x可导，且 22f xxfxx，则下列不等式在,恒成立的是（）.0A f x .0B f x .C f xx.D f xx例 9.设 f x可导，且 0fx f x，则（）.11A ff.11B ff.11C ff.11D ff23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）4例 10.当2x 时，证明：222220 xxxexee.例 11.f x在30,2上连续，在30,2内是cos23xx的原函数，且 00f.（1）求 f x在30,2上的平均值；（2）证明 f
5、x在30,2存在唯一零点.第三部分第三部分 一元积分学及应用一元积分学及应用一、含积分的等式与不等式证明一、含积分的等式与不等式证明例 1.设 220sinxnf xtttdt，其中0 x.nN.证明：01max2223xf xnn.例 2.设 f x在,L L上连续，在0 x 处可导，00f.（1）证明：对于任意给定的0 xL，存在01使 00 xxf t dtf t dtx fxfx；（2）求0limx.例 3.设 f x在0,上连续且单调减少，若0.证明：00f x dxf x dx.23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）5例 4.设 fx在,a b上连续，且 0f af b，求证：2,m
6、ax4baxa bbaf x dxfx.二、广义积分二、广义积分例 5.讨论132311dxxx的敛散性.例 6.21xtf xedt，求 10f xIdxx.例 7.求曲线2sin0 xyex x与x轴所围图形面积.三、应用三、应用例 8.已 知,f x y满 足21fyy且2,12lnfy yyyy.求 曲 线,0f x y 所围图形绕1y 旋转所得体积.23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）6第四部分第四部分 多元微积分学多元微积分学一、多元微分学一、多元微分学例 1.,0,0,0,xy xyf x yx yy x给出以下结论：0,01fx；20,01fx y；00lim,0 xyf x
7、y；00limlim,0yxf x y，其中正确的是.例 2.设,zf x yxy g x y，其中函数,g x y在0,0点的邻域内连续.（1）试确定,g x y应满足的条件，使偏导数0,0 xf 与0,0yf 均存在；（2）在上述条件下，讨论函数,zf x y在0,0处的可微性.例 3.设xyuxy，xy.求m nmnuxy.例 4.设函数22271,27fx yyxyx.（1）求,fx y的极值，并证明,fx y在点0,0处不取极值；（2）当点,x y在过原点的任一直线上变化时，求证函数,fx y在点0,0处取极小值.23 考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）7二、二重积分二、二重积分例 5.,f x y是定义在区域01,01,xy上的二元函数，0,00f，且在点0,0处,f x y可微，求极限24004,lim1xtxxxdtf t u due.例 6.二元函数,z x y在xOy平面上任一有界区域D内存在连续偏导数，且2222DDzzdxdyxzx zdxdyxx，且20,zyy，求,z x y.例 7.求曲线3330 xyaxy在第一象限所围的平面图形面积.第五部分第五部分 常微分方程常微分方程例 1.求22cos2 cosxyyyexx的通解.例 2.设01110,1,nnnuuuaubu1,2,n，设 1!nnnufxxn，试求出 f x满足的微分方程.