1、 数学(二)试题 第 1 页(共 13 页)2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因为03sinsin3limkxxxcx03sinsin cos2cos sin2limkxxxxxxcx 20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22cosl
2、imkxxxcx 221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx 304lim1kxcx 所以4,3ck，故答案选(C)(2)【答案】(B)【解析】23302limxx fxfxx 223300220limxx fxx ffxfx 33000lim2xfxffxfxx 0200fff 故答案选(B)(3)【答案】(C)【解析】()ln1ln2ln3f xxxx 111()123fxxxx 231211(1)(2)(3)xxxxx 令()0fx，得1,2633x，故()f x有两个不同的驻点 (4)【答案】(C)数学(二)试题 第 2
3、 页(共 13 页)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr,所以非齐次方程2xyye有特解1xyx a e,非齐次方程2xyye有特解2xyx b e，故 由 微 分 方 程 解 的 结 构 可 知 非 齐 次 方 程2xxyyee可 设 特 解().xxyx aebe(5)【答案】(A)【解析】由题意有()()zfx g yx，()()zf x g yy 所以，0,0(0)(0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点 又因为22()()zfx g yx，2()()zfx g yx y，22()()zgy f xy，所以，2(0,0)
4、2|(0)(0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgx y，2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBA C且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0,(0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选(A)(6)【答案】(B)【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因ln x是单调递增的函数，所以lnsinlncoslncotxxx 故正确答案为(B)(7)【答案】(D)【解析】由于将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，故 100110001AB，即1APB，11ABP 由于交换B的第 2 行和第 3
5、行得单位矩阵，故 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 13 页)100001010BE，即2,PBE故122BPP因此，12 1APP，故选(D)(8)【答案】(D)【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()4 13r A ，即130，且0A 由 此 可 得*|A AA EO，即*1234(,)AO ，这说明1234,是*0A x 的解 由于()3r
6、A，130，所以234,线性无关 又由于()3r A，所以*()1r A，因此*0A x 的基础解系中含有4 13 个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x 的解，所以234,可作为*0A x 的基础解系，故选(D)二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)指定位置上)(9)【答案】2【解析】原式=01 21lim(1)2xxxe00212 ln21limlimln22222xxxxxeee(10)【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex
7、edxC (cos)xexdxC (sin)xexC 由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11)【解析】选取x为参数，则弧微元 2211 tansecdsydxxdxxdx 所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(12)【答案】1【解析】原式00 xxx edxxde 数学(二)试题 第 4 页(共 13 页)0001lim0 xxxxxxxeedxee 01111limlimxxxxeee (13)【答案】712【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdr dr 4241sincos16sin4d 5522444cossi
8、n4sinsindd 66447sin612(14)【答案】2【解析】方法 1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数 二次型f对应矩阵为11113 1111A 111000131131132111111112EA 321412，故1230,1,4因此f的正惯性指数为 2 方法 2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数 2221231231 21 323,3222f x x xxxxx xx xx x 2222212322332323232xxxxx xxxxx x 2212322xxxx，令11232233,yxxxyxyx则22122fyy，故f的正惯性指数为 2 大型考试资源分享
9、网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 13 页)三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)【解析】如果0a 时，2200(1)limlimln(1)xxaaxxlntdtxtdtx，显然与已知矛盾，故0a 当0a 时，又因为2
10、2230110000ln(1)ln(1)1limlimlimlim0 xaaaaxxxxtdtxxxxaxaxa 所以30a即3a 又因为223201222ln(1)ln(1)210limlimlimlim(1)(1)1xaaaaxxxxxt dtxxxxaxa axa ax 所以32a，即1a，综合得13a (16)(本题满分 11 分)【解析】因为221()1dytdty xdxtdt，2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)tdt ttttty xdxdttttdt 令()0y x得1t ，当1t 时，53x，13y ，此时0y，所以13y 为极小值 当1t
11、时，1x ，1y，此时0y，所以1y 为极大值 令()0yx得0t，13xy 当0t 时，13x，此时0y；当0t 时，13x，此时0y 所以曲线的凸区间为13，凹区间为13，拐点为1 1(,)3 3(17)(本题满分 9 分)【解析】,()zf xy yg x 12,(),()()zfxy yg xyfxy yg xyg xx 数学(二)试题 第 6 页(共 13 页)211112,()(,()(,()()zfxy yg xy fxy yg x xfxy yg x g xx y 21222(),()(),(),()()g xfxy yg xyg xfxy yg xxfxy yg x g x
12、因为()g x在1x 可导，且为极值,所以(1)0g，则 21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy (18)(本题满分 10 分)【解析】由题意可知当0 x 时，0y，(0)1y，由导数的几何意义得tany,即arctan y，由题意arctanddyydxdx，即 21yyy 令yp，yp，则21ppp，3dpdxpp，即 21dppdpdxpp，211ln|ln(1)2ppxc，即2211xpce 当0 x，1p，代入得2c，所以 2121xye，则2200()(0)212txxttdte dty xyee 0022arcsin|arcsin4221()2t
13、txxxtedeee 又因为(0)0y，所以2()arcsin24xy xe(19)(本题满分 10 分)【解析】()设 1ln 1,0,f xxxn 显然()f x在10,n上满足拉格朗日的条件，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 7 页(共 13 页)1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn 所以10,n时，111111111 01nnnn，即：111111nnn，亦即：111ln 11nnn 结论
14、得证（II）设111111lnln23nnkannnk 先证数列 na单调递减 111111111ln1lnlnln 1111nnnnkknaannkknnnn，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1nn，所以11ln 101nn得到1nnaa，即数列 na单调递减 再证数列 na有下界 1111lnln 1lnnnnkkannkk，11112 3 41ln 1lnlnln11 2 3nnkkknnkkn，1111lnln 1lnln1ln0nnnkkannnnkk 得到数列 na有下界利用单调递减数列且有下界得到 na收敛 (20)(本题满分 11 分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积
15、分为两部分 12VVV1222211221yy dyy dy 数学(二)试题 第 8 页(共 13 页)232123yy+13213yy=1534=94 (II)所做的功为 22(2)(1)(2)(2)dwgyy dygyyy dy 12222112(2)(1)(2)(2)wgyy dygyyy dy 1232322112(22)44)gyyydyyyy dy 111224322312222221111211122242243243yyyyygyy 327 1033758gg(21)(本题满分 11 分)【解析】因为(,1)0f x，(1,)0fy，所以(,1)0 xfx 1100(,)xyI
16、xdxyfx y dy1100(,)xxdxydfx y 111000,|,xxxdx yfx yfx y dy1100(,1)(,)xxxdx fxfx y dy 1100(,)xxdxfx y dy 1100(,)xdyxfx y dx 111000(,)|(,)dy xf x yf x y dx 1100(1,)(,)dy fyf x y dx(,)Df x y dxdya(22)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于123,不能由123,线性表示，对123123(,)进行初等行变换：123123113101(,)12401313115a 113101011112023014a1131
17、01011112005210a 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 9 页(共 13 页)当5a 时，1231231(,)2(,)3rr ，此时，1不能由123,线性表示，故123,不能由123,线性表示(II)对123123(,)进行初等行变换：123123101113(,)013 124115 135 101113013124014022101113013124001102 1002150104210001102，故
18、112324，2122，31235102(23)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于111100001111A，设121,0,1,1,0,1TT，则 1212,A ，即1122,AA，而120,0，知A的特征值为121,1，对应的特征向量分别为1110kk，2220kk 由于 2r A，故0A，所以30 由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3123,Tx x x，则 13230,0,TT 即13130,0 xxxx 解此方程组，得30,1,0T，故30对应的特征向量为3330kk(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022TTT 数学(二)试题 第 10 页(共 13 页)令123,Q ，则110TQ AQ ，TAQ Q 22022220122220011022022010022 22022220001222200000002210022010022 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214