1、一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）g(x)则J勹(t)dtrg(t)dt.(A)(/-l)dt t2dt=气3(B)ln(l+万）dtrt令dt=气5(C)f工sint2dt厂rt2dtfc2dt=丘。3(D)J:-cosx/忒臣了dt-I-cosr tidtI:l令dt=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和p(x)在x=O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和p(x)分别是x的m阶和n阶无穷小，则(,-)J(t)dt是x-0时的n(m+1)阶无穷小。CA)r C/-1)dt,m=2,n=1,则n(m
2、+1)=3.。ln(l+#)dt,m=立，n=1,则n(m+l)=立。22.CC)厂sint2 dt,m=2,n=1,则n(m+1)=3.。1一cos,3叫产t,m=一，n=2,则n(m+l)=5.。2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=limf(x)=0.工-o故应选(C).f(x)-f(O)=lim f(x)j(O)=Jim;-0 X0 rO X f(x)f(x)lim=lim X=j(0)0=0 工-o,/了.,-oX（方法二）排除法取f(x)=X3,X#0，则limf位）=o,且1,X=0 J-0 x3
3、f(x)x3 lim f(x)=lim _。J了工-o=O,lim一=lim=0 2 2 工-oX r-0 X 但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X=0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)=x,则limf(x)=0,且f(x)在x=O处可导，但J-0 5 叫2020年考研数学一真题解析2020年考研数学一真题解析关注公众号【考研题库】保存更多高清资料排除CD)故应选CC).(3)【答案】Af(x)X 1 lim 2=lim 2=lim-#-0,-O X.r-0 X.r-O X【解析】利用函数z=.I一位，y)在(x。,Yo)处可微的充要条件Jim幻-J.心X-J:t:,y=
4、Q.汇,Jt:,x2+t:,yZ 因为 f(x,y)在(0,0)处可微，则f(x,y)Bf(O,O)r7f(O,O):r y ax ay Jim=0,-酝。_y-O 妇2+y2 of(O,O)of(O,O)而n(x,y,f(x,y)=x+y-f釭，y).杠ay有limn(x,y,f位，y)=O,即JimI n(x,y,f丘y)l=O.r-Q.T 伽。,J xz+yz 户y-0 正确答案选CA).(4)【答案】A,/x2+y2 解析】由 阿贝尔定理，当IrlZ时，入I,A2为两负实根，f位）=C1e工+C2e甲，当a=Z时，入1=入2=-1,/(x)=CC1+C2x)erv4=?v4=?和当Oa
5、Z时，入1,2=(c1cos工+C2sinx)e 2 2.不论如上哪种情形，均有f(十,I=)=limf(x)=o,f+=)=limf(x)=0.因而工-+oo.r-十OO厂厂+oo+oo0 f(x)釭。/(x)+af(x)dx=-f(x)lo-af(x)lo=f(0)+af(0)=n+am.(12)【答案】4e【解析】a2 f f(x,y)有二阶连续偏导，利用一一一a2 f 3或yayax aJ-=xe,(.ryl.ay 7 2 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料叮扫x所求主勹主LI=4e.OXOy CJ.I)0戒X(I、!)(13)【答案】矿(a1-4)=e.r/+xex/3归【解析】
6、由 行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到2列，4列的1倍加到3列a O-l l a aO O a 0 0 0 0 a 1-1 0 a l-1 0 a 2-1 1 1 a O11 a O=-1 2 a 01-10 a O O a a O 0 0 a2 a 2=a 2 a I=a2(a24)【评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o,(14)【答案】2【解析】xu(牙号），Y=sin X,EX=0.Cov(X,Y)=E(XY)-EX EY=E(XY)=E(Xsin X)=r xsin x 上dx=ff xsin xdx-六三、解答题2=-(s
7、in:r-:rcos x)I令=1-亢亢J:=3x2-y=0 1 1(15)【解】由/得驻点为(0,0),(-几=24y2-X=0 612).可计算A=几=6x,B=几=-1,C=fy=48y 判别式t:,.=AC-B2=288xy-1.在(0,0)点处，!:,.=-1 0 且A1 O,取极小值为I(上上）1612 215(16)【分析】挖去奇点(0,0汃用格林公式【解】取L1:丘+yz=e2(e2足够小），方向为顺时针方向，则I=乎釭-y2 dx+X+y z dy-釭-Y2 dx+x+y?.dy L+L1 4x2+y 丘-l-y凸丘+y 4:rz+y 令P=4x-y、工+y4xz+yz,Q=
8、4.甘+y2计算得aQ抒-4x2-8xy+y2 妇的(4:rz+yz)z 崎因而I=0-2(4:ry)dx+(:r+y)dy=了2dxdyE L E JJ 其中D1=(x,y)I 4x2+y2E勹所以I=今XrcXe:X主=TC.E 2 o,(17)【分析】得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数1 n+-【解】由 阿达玛公式p=lim生旦=lim-主=1.-a,n-=n+l.8 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案=幕级数2牛x的收敛半径R=上=1,所以，当I x I设I f(c)I=M.若cE(0,1,由拉格朗日定理知存在t;E(O,c
9、),使J(t;)=J(c)-f(O)f(c)、c-0 C 从而有I J)I=-I J(c)I M=-M.C C 若cE0,2,同理存在肛EO,2汃使从而有I J)I=j()=f(2)f(c)=-f(c)2-c 2cI Jc)I M=一多M.2-c2-c综上所述，存在扣E(0,2),使得I f化）lM.II)若cEO,l),则9 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料M=I f(c)l=I f(c)f(O)I=I j()I C冬Mc由于O cOM=I/Cl)I=If f(x)dx I勹:I/Cx)I cl工M矛盾，则M=O.原题得证(20)【韶】C I)二次型J经正交变换X=Qy化为二次型g.记
10、二次型f,g的矩阵分别是A和B.即A=-/,n=勹勹因AB,于是a,;=b,;,I A I=I B I,即:-勹，:5,又因a 从故a=4,b=l.c II)对二次型f=式4X1X2+4式和g=4贞+4劝Y2+Y,只要令：；二21即:.:J=_ :Q=o1是正交 矩阵合于所求-1 0【评注】如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi=3s_,经X=Q1z得XTAx=5叶类似构造正交矩阵Qz使yTBy=5云，即x=Q1z,y=Q2z有z=Q21Y,从而X=Q1Q21Y而得Q=Q1Q21亦可(21)【解】c I)因a#-0且a不 是A的特征向量于是Aa#-ka,从而a与Aa不共线，即a,Aa线性无
11、关，故P=(a,Aa)可逆或（反证法）若P不可逆，有IP I=I a,Aa I=oa与Aa成比例，于是Aa=ka.又a#-0知a 是A的特征向址与已知条件矛盾(I)(万法一）由A飞+Aa-6a=0有A2a=6aAaAP=A(a,Aa)=(Aa,A2a)=(Aa,妞Aa)因P可逆，于是=(a,Aa)0 6 1 _iJ 0 6 P一!AP=I _l记B=O 6l而IIB-BI=入6=入2土1-1-1入+1，入6特征值2,3.于 是A有2个不同特征值从而A可相似对角化（方法二）因A2+A-6E=(A-2E)(A+3E)=(A+3E)(A-2E),由A2a+Aa6a=O,即(A2+A6E)a=O,于
12、是(A-2E)(A+3E)a=0,即(A2E)(Aa十3a)=O,即A(Aa十3a)=2(Aa十3a),10 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2 02 0年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案由a不是特征向量，有Aa、+3a-=I=0 从而入=2是A的特征值，类似有入=-3是特征值下略(22)【解】(l)CX,Y)的 分布函数F(x,y)F(x,y)=PX1x,Y y =PX,x,X3X1+(1-X3)X2y)=PX3=O)PX,x,X3X1+O-X,)X2y I X3=0)+PX3=l)PX1x,X,X,+O-X3)X2y I X3=1 l 1=PX,x,X2y I X3=O+-P
13、X1x,X,y I X3=1)2 2 1 1=-PX,x,X2y +-PX1x,X1 y)2 2 1 1=-PX,x)PX2y)+-PX1min(x,y)2 2 11 一中釭）趴y)+-趴min(x,y)2 2 C II)Y的 分布函数氏(y)=PX3X1+(1-X3)X2y)=PX3=O PX3X1+Cl-X3)Xz y I X3=O 十PX1=l PX3X1+Cl-X3)Xz y I X3=1 1 1=-PX2y I x3=0)+-PX,y I x3=12 2 1 1 1 1=-PX2y +-PX1y)=-中(y)+-趴y)=趴y)2 2 2 2 Y-N(O,l).(23)【解】F(t)=
14、r-e-C令）o,t m-1?,Of(x)F(x)厂行）沪（令），t t=厂f(t)dt=F(t)+=FC+心-FCt)=e-C扩）,t 0.-(宁）,n PT s十t!Ts=PT s十t,Ts=PTs十te PTs PT寸（令）e=e-C宁）+(令）m(JI)给定tItz,t,似然函数为“L(0)=IIIt,)=订叫勹,_。1-(五）m-1,t=m ITe飞）,.m 一e0 0;-1 0 i-1;-1 nL(0)=nln m+(m-l)ln t;-mnln 0,-1;-1 din L(0)l 令de=-mn万笘“(-m)t7n em+I=0,-+工-=0。;=J 0,+I 解得矿上t;勹不难验证为最大值n;-1 最大似然估计值0=11m t;0 t0,t 0.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料