1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题选择题(1)【答案】(C).【解析】000011111limlim11lim1limxxxxxxxxxxeaxea eeaxeaxexxxxxx001limlim11xxxxeaxeaxx 所以2a.(2)【答案】(A)【解析】因12yy是 0yP x y的解,故 12120yyP xyy,所以 1122()0yP x yyp x y,而由已知 1122,yP x yq xyP x yq x,所以 0q x,又由于一阶次微分方程 yp x yq x是非齐的,由此可知 0q
2、x,所以0由于12yy是非齐次微分方程 yP x yq x的解,所以 1212yyP xyyq x,整理得 1122yP x yyP x yq x,即 q xq x,由 0q x 可知1,由求解得12,故应选(A)(3)【答案】(B).【解析】()()()f g xfg xg x,2()()()()()()()f g xfg xg xfg xg xfg xgx由于0()g xa是()g x的极值,所以0()0g x.所以关注公众号【考研题库】保存更多高清资料 0000()()()()f g xfg xgxfagx由于0()0gx,要使()0f g x,必须有()0fa,故答案为 B.(4)【答
3、案】(C).【解析】因为1010()1limlimlim()10 xxxxxh xeeg xx,所以,当x充分大时,()()h xg x.又因为91091ln()lnlnlimlimlim 1010 lim()1xxxxxf xxxxg xxx81lnln110 9 lim10 92 lim10!lim01xxxxxxxx.所以当x充分大时,()()f xg x,故当x充分大,()()()f xg xh x.(5)【答案】(A)【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以(I)(II)rr,即11(,)(,)rsrrs若向量组I线性无关,则1(,)rrr,所以11(,)(,)rsrrrs,
4、即rs,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设为A的特征值,由于2AAO,所以20,即(1)0,这样A的特 征 值 只 能 为-1 或 0.由 于A为 实 对 称 矩 阵,故A可 相 似 对 角 化,即A,()()3r Ar,因此,1110,即1110A.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x的形式,得到随机变量X既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即 11111111
5、1 0122P XP XP XFFee,故本题选(C).(8)【答案】(A).关注公众号【考研题库】保存更多高清资料【解析】根据题意知,22112xfxe(x ),21,1340,xfx 其它利用概率密度的性质:1f x dx,故 03121001312424aaf x dxafx dxbfx dxfx dxbdxb所以整理得到234ab,故本题应选(A).二、填空题填空题(9)【答案】1.【解析】2200sinx yxtedtxt dt,令0 x,得0y,等式两端对x求导：2()220(1)sinsinxx ydyet dtxxdx将0 x,0y 代入上式,得010 xdydx.所以01xd
6、ydx.(10)【答案】24.【解析】根据绕x轴旋转公式,有221 lneedxVy dxxx22lnarctan ln1 ln244eedxxx.(11)【答案】3113Pp e.【解析】由弹性的定义,得31dRppdp R,所以21dRpdpRp,即21lnln3RppC,又 11R,所以13C .故11lnln33Rpp,因此3113pRp e.(12)【答案】3b.【解析】函数为321yxaxbx,它的一阶导数为232;yxaxb 二阶导数为62yxa,又因为1,0是拐点,所以10 xy,得13a,所以3a,又因为曲线过点1,0,所以将1,0 xy 代入曲线方程,得3b.关注公众号【考
7、研题库】保存更多高清资料(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A AB BEAB BBA,所以11111()ABA AB BA AB B因为2B,所以1112BB,因此11113 232ABA AB B .(14)【答案】22.【解析】22222211111nniiiiE TEXEXnE XE Xnnn.三、解答题解答题(15)【解析】11lnln1ln11ln11lnlimlimlnlnlnlim1limxxxxxxxxexxxxxxxxeee其中lnlnln12ln(1)(1)1 lnlimlim1lnxxxxxxxxeeexxxxlnln1 ln1limlim(1)1lnlnx
8、xxxxxexexxxx.故原式1e.(16)【解析】积分区域12DDD,其中21,01,21Dx yyyxy22,10,21Dx yyyxy 3322333DDxydxdyxx yxyydxdy因 为 区 域D关 于x轴 对 称,被 积 函 数233x yy是y的 奇 函 数,所 以2330Dx yydxdy211133232320232323yyDDDxydxdyxxydxdyxxydxdydyxxydx2114222013242yyxx ydy14209114224415yydy.(17)【解析】令222,210F x y zxyyzxyz,用拉格朗日乘数法得关注公众号【考研题库】保存更
9、多高清资料22220,220,220,100,xyzFyxFxzyFyzFxyz 求解得六个点：1,5,2,1,5,2,AB 1,5,2,1,5,2,CD2 2,0,2,2 2,0,2.EF由于在点A与B点处,5 5u；在点C与D处,5 5u ；在点E与F处,0u 又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max5 5u,min5 5u(18)【解析】(I)当01x时0ln(1)xx,故ln(1)nntt,所以lnln(1)lnnnttt t,则1100lnln(1)lnnnttdtt t dt1,2,n.(II)11110001lnlnln1nnnt t dtt t dttd tn
10、211n,故由12010ln1nnut t dtn,根据夹逼定理得210limlim01nnnun,所以lim0nnu.(19)【解析】(I)因为202(0)()ff x dx,又因为 f x在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得 2020f x dxf即 202ff,所以存在0,2,使得 0ff.()因为 2320fff,即 2302fff,又因为 f x在2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点12,3使得 10ff.因为 f x在0,2上连续,在0,2上可导,且 02ff,所以由罗尔中值定关注公众号【考研题库】保存更多高清资料理知,存在10,2,有10f.又因为 f
11、 x在12,上连续,在12,上可导,且 120fff,所以由罗尔中值定理知,存在212,有20f.又因为 f x在12,上二阶可导,且120ff,所以由罗尔中值定理,至少有一点0,3Axb,使得 0f.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1：(I)已知Axb有 2 个不同的解,故()()3r Ar A,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111aAa22111111010101010110011aa当1时,1 1 1 11 1 1 10 0 0 10 0 0 10
12、 0 00 0 0 0Aa,此时,()()r Ar A,故Axb无解(舍去)当1 时,111102010002Aa,由于()()3r Ar A,所以2a ,故1,2a.方法 2：已知Axb有 2 个不同的解,故()()3r Ar A,因此0A,即211010(1)(1)011A,知1或-1.当1时,()1()2r Ar A,此时,Axb无解,因此1.由()()r Ar A,得2a .(II)对增广矩阵做初等行变换关注公众号【考研题库】保存更多高清资料31012111211121020102010102111100000000A可知原方程组等价为1323212xxx,写成向量的形式,即12333
13、2110210 xxxx .因此Axb的通解为32110210 xk ,其中k为任意常数.(21)【解析】由于0141340Aaa,存在正交矩阵Q,使得TQ AQ为对角阵,且Q的第一列为1(1,2,1)6T,故A对应于1的特征向量为11(1,2,1)6T.根据特征值和特征向量的定义,有1116622661166A,即10141113224011aa ,由此可得11,2a.故014131410A.由14131(4)(2)(5)041EA,可得A的特征值为1232,4,5.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料由2()0EA x,即1234141710414xxx,可解得对应于24 的线性无关的特
14、征向量为2(1,0,1)T.由3()0EA x,即1235141210415xxx,可解得对应于35的特征向量为3(1,1,1)T.由于A为实对称矩阵,123,为对应于不同特征值的特征向量,所以123,相互正交,只需单位化：312123123111(1,2,1),(1,0,1),(1,1,1)623TTT,取12311162321,063111623Q ,则245TQ AQ .(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度,f x y后,要求条件概率密度|(|)Y Xfy x,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y XXf x yfy xfx来进行计算.本题中还有待定参数,A要根据概率密
15、度的性质求解,具体方法如下.22222222()(),xxy yy xxxy xXfxf x y dyAedyAedyAeedy2,xAex .根据概率密度性质有 21xXfx dxAedxA,即1A,故 21xXfxe,x .当x 时,有条件概率密度 222222222(),11,xxy yxxy yx yY XxXf x yAefy xeexyfxAe .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(23)【解析】(I)X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为0,1,22326310,0155CP XYC,其中0,0XY表示取到的两个球都是黑球；112326620,1155C CP XYC,
16、其中0,1XY表示取到的一个是白球,一个是黑球；222610,215CP XYC,其中0,2XY表示取到的两个球都是白球；111326311,0155C CP XYC,其中1,0XY表示取到的一个是红球,一个是黑球；11122621,115C CP XYC,其中1,1XY表示取到的一个是红球,一个是白球；2601,20P XYC,因此二维离散型随机变量,X Y的概率分布为(II),Cov X YE XYE X E Y,221 11515E XY ,21101333E X ,2812012515153E Y 2124,153345Cov X YE XYE X E Y.XY010121525115152150231325115815关注公众号【考研题库】保存更多高清资料