1、 2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 1 2022 考研考研数学数学满分过关满分过关 150 高数下高数下【例例 1】求下列微分方程的通解：（1）（北京市 1995 年竞赛题）sin()sin()yxyxy+=+；（2）2(1)(arctan)0ydxxy dy+=；（3）2(21)yxy=+；（4）2222sinxyyxyex+=.2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 2【例例 2】求微分方程2min,1xyyye+=的通解.【例例 3】（莫斯科 1975 年竞赛题）求()f x满足()()()1()()f xf yf
2、 xyf x f y+=，且(0)1f=，求()f x.【详详解解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 3【例例 4】设曲线()yy x=位于第一象限过点(1,3)，在点(,)P x y处的切线与x正半轴的交点为A，且4OPA=，求曲线方程.【详解详解】【例例 5】设连续函数)(xf满足00()()xxxf t dttf tx dt=+，求()f x.【详解】【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 4【例例 6】设()f x为)0,+上的非负连续函数，曲线0()xyf u du=、x轴、(0)xt t=所围区域绕y
3、轴旋转一周所得旋转体的体积与曲线()yf x=、x轴、0 x=、(0)xt t=所围区域的面积之和为2t，求()f x.【详解【详解】【例例 7】（北京市 1990 年竞赛题）设22(ln)zfxy=+满足32222222()zzxyxy+=+，其中()f x 二阶可导，且100()lim1xf xt dtx=，求()f x.【详详解】解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 5【例【例 8】（1）（江苏省 2000 年竞赛题）设连续函数()f x满足 22222224()2()()xytf txyfxydxdyt+=+，求()f x；（2）（数一）（江苏省
4、 1994 年竞赛题）设连续函数()f x满足 22222223()()xyztf tfxyzdVt+=+，求()f x.【详解】【详解】（1）【例【例 9】求下列重极限：（1）2200lim(0,0)xyx yxy+；（2）222200()limxyxy xyxy+；（3）22302220lim()xyx yxy+；2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 6（4）22456800sintanlimxyx yxyxy+.【详解】【详解】【例【例 10】（全国大学生 2017 年竞赛题）设(,)f x y可微，满足(,)(,)xfx yf x y=，cot10,
5、lim(0,)nynfynefy+=，且0,12f=，求(,)f x y.【详解【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 7【例【例 11】（江苏省 1998 年竞赛题）设(,)f x y有二阶连续偏导数，满足(,)(,)xxyyfx yfx y=，2(,2)f xxx=，(,2)xfxxx=，求(,2)xxfxx与(,2)xyfxx.【详解】【详解】【例例 12】（北京市 1993 年竞赛题）求2221()()221(,)(0,0)x ay byf x yeyby+=的最大值.【详详解】解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15
6、 50 0 8【例例 13】设),1(),(22yxxyfyxg+=，其中),(yxf有二阶连续偏导数，且 0)1(1),(lim2201=+yxyxyxfyx，证明),(yxg在)0,0(处取得极值，并判断是极大值还是极小值.【详解】【详解】【例【例 14】设(,)zz x y=由方程321263ln0 xxyyzze+=确定，求(,)zz x y=的极值.【详解】【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 9【例【例 15】（江苏省 1994 年竞赛题）设,a b满足1(0)2bax dxab=，求曲线2yxax=+与直线 ybx=所围区域的面积A的最
7、值.【详详解解【方方法一法一】【方方法法二二】【例【例 16】设),(yxzz=满足dyyxdxyxdz)412()122(+=，且0)0,0(=z，求),(yxzz=在 25422+yx上的最值.2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 10【详解】【详解】.【方方法法一】一】【方法二方法二】74.【例例 17】（1）（南京工业大学 2009）求极限2220001limtt xxytdxedyt+；（2）（江苏省 2008 年竞赛题）求极限26001limsin()ttxtdxxydyt+；（3）（江苏省 2002 年竞赛题）设()f x在)0,+上连续，在0
8、 x=处可导，且(0)0f=.若 2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 11 22(,)2,0(0)Dx y xytx yt=+，求极限22401lim()tDfxyydxdyt+.【详【详解】解】【例【例 18】（1）（江苏省 2002 年竞赛题）计算积分sin()DIxy dxdy=，其中(,)0,0,2Dx y xyxy=+；（2）（北京市 2001 年竞赛题）计算积分cos()DIxy dxdy=+，其中(,)0,0Dx yxy=；（3）计算积分22sgn(2)DIxydxdy=+，其中22(,)4Dx y xy=+.【详解】【详解】2022022
9、2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 12【例【例 19】计算积分2222121Dxxydxdyxy+，其中22(,)1,0Dx y xyxy=+.【详解【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 13【例【例 20】设()(,)DI af x y dxdy=，其中22,0,(,)0,xx yxa yaf x y+=其他，22(,)Dx y xyax=+.（I）计算积分()I a；（II）求极限()201lim1 cosln(1)I aaeaa+.【详解【详解】【例例 21】计算下列积分：（1）（江苏省 2004 年竞赛题）22202(
10、1)rIde dr=；（2）()32sin222404sincos1sinIdrr dr=+.【详解详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 14【例例 22】计算积分+Ddxdyyx)(2，其中22(,)22Dx y xyxy=+.【详详解】解】【方法一方法一】【方法方法二二】【方法方法三三 【例【例 23】（1）（浙江省 2011 年竞赛题）计算积分31xyxydxdy+；2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 15（2）计算积分Dydxdy，其中D由x轴与y轴及曲线1(0,0)xyabab+=围成.【详【详解解【例【
11、例 24】设(,)f x y在区域(,)02,02Dx yxy=上连续，且(,)0Df x y dxdy=，(,)1Dxyf x y dxdy=.（I）计算积分1DAxydxdy=；（II）证明：存在(,)D，使得1(,)fA.【详详解解】（I）2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 16【例【例 25】设)(xf在)0,+上连续，20()fx dx+收敛，=10)(dxnxfan，证明级数=12)0(nnna收敛.【详解】【详解】【例【例 26】设)(xf在0 x=的某邻域内有一阶连续导数，且0()lim2xf xx=，证明级数11(1)nnfn=条件收敛.
12、【详【详解解】【例【例 27】（1）设数列 na单调递减，且limln1nnan=，求幂级数1(1)(1)nnnnax=+的收敛域；（2）求幂级数1(1)(3)2nnnnnxn=+的收敛域.2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 17【详解】【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 18【例例 28】（1）将67)(2+=xxxxf在4=x处展开为幂级数；（2）将224()arctan4xf xx+=展开为x的幂级数.【详解】详解】【例【例 29】求幂级数12121(1)41nnnxn+=的收敛域与和函数()S x.【详
13、解【详解 2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 19【例例 30】求级数111(1)!(2)nnnn n=+的和.【详解【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 20【例例 31】设幂级数30(3)!nnxn=的和函数为()S x，（I）求幂级数的收敛域；（II）证明()S x满足微分方程()()()xSxS xS xe+=；（III）求()S x.【详解详解】（I）【例【例 32】设数列 na满足01a=，11(1)(1,2,)2nnnanan=+=.证明：当1|x时，幂级数=0nnnxa收敛，并求其和函数.2022
14、022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 21【详解】【详解】【2020，数数一一】设数列 na满足11a=，11(1)(1,2,)2nnnana n+=+=.证明：当1x 时，幂级数1nnna x=收敛，并求其和函数.2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 22【例【例 33】（数一）将()2,1,1f xx x=+展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数211nn=的和.【详解】详解】【例【例 34】计算积分2221IxyzdV=+，其中22(,)1x y zxyz=+.【详详解解 2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过
15、关关 1 15 50 0 23【例【例 35】设密度为 1 的立体是由平面区域2(,)1Dx z xz=绕z轴旋转一周所得旋转体，求绕直线:L xyz=的转动惯量I.【详解【详解】【例【例 36】设(,)u x y在曲线22:1L xy+=所围区域D上有二阶连续偏导数，满足 2222()22xyuuexy+=.若L取逆时针方向，n为L的外法向量，计算积分Ludsn.【详解】【详解】【例例 37】计算积分224Lydxxdyxy+，其中L为从点)0,1(A沿下半单位圆周到点)0,1(B，再沿直线到点)2,1(C的曲线.【详解】【详解】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15
16、 50 0 24【例例 38】设(,)Q x y在xOy平面上有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)LxydxQ x y dy+与路径无关，对任意t都有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy+=+，求(,)Q x y.【详【详解解 【例【例 39】（1）设(,)u x y z在曲面222:2xyzz+=所围区域上有二阶连续偏导数，满足 222222222uuuxyzxyz+=+.若n为的外法向量，计算积分udSn；（2）计算积分(,)2(,)(,)If x y zx dydzf x y zy dxdzf x y zz dxdy=+，其中(,)f x y z连续，为平面1xyz+=在第四卦限部分的上侧.【详详解解（2）【方法方法一一】2022022 2 考研考研数学满数学满分过分过关关 1 15 50 0 25【方法方法二二【2020，数一数一】设为曲面2222(14)zxyxy=+的下侧，()f x为连续函数，计算()2()2()Ixf xyxy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy=+【例例 40】设连续函数),(yxf满足 422222(,)(,)(,)f x y dydzy dzdxzf x y dxdyf x yxyxyz+=+其中为曲面221yxz=的上侧，求),(yxf.【详解【详解】