1、 2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 1 第一第一章章 行列式行列式 一一、知识体系知识体系 11221122!(),0,0,ijijinjnijijninjnabA ija Aa Aa AijA ija Aa Aa Aij=+=+=定义 项不同行不同列元素乘积的代数和行列式的概念性质 上 或下 三角、主对角行列式副对角行列式重要行列式型行列式拉普拉斯展开式范德蒙行列式展开定理行列式行列式的公式 111*1211212,Cramer,nTnnniinnkAkAABA BAAAAAAAAABABDDDxxxDDD=设 的特征值为则若 与 相似
2、 则法则 二、二、重点题型重点题型 2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 2 重重点题型点题型一一 数字数字行列式行列式的的计算计算【方法方法】【例例 1.1】设 212322212223()333245354435743xxxxxxxxf xxxxxxxxx=则方程()0f x=根的个数为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【详详解解】【例例 1.2】利用范德蒙行列式计算222aabcbbacccab=.【详详解解】【例例 1.3】设12340 x x x x，则21112131422122232423132333424142434
3、4xaa aa aa aa axaa aa aa aa axaa aa aa aa axa+=+.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 3【例例 1.4】计算三对角线行列式 00000000000000nD+=+【详解【详解】重点题型重点题型二二 代数余子式求和代数余子式求和【方法方法】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 4【例例 1.5】已知123452221127312451112243150A=，则414243AAA+=，4445AA+=.【详详解解】【例例 1.6】设0
4、10000200001000Ann=，则A的所有代数余子式的和为 .【详详解解】重点题型重点题型三三 抽象抽象行列式行列式的的计算计算【方法方法】【例例 1.7】（2005，数一、二）设321,均为 3 维列向量，),(321=A，123123123(,24,39)B =+.若1=A，则=B .【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 5【例例 1.8】设A为n阶矩阵，,为n维列向量.若Aa=，0TAb=，则TAc=.【详详解解】【例例 1.9】设A为 2 阶矩阵，1*(2)(2)2AAOBOA=.若1A=，则=B .【详详解解】【例
5、例 1.10】设n阶矩阵A满足2AA=，AE，证明0A=.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 6 第第二二章章 矩阵矩阵 一一、知识体系知识体系|0()0 TABkAABAAr AnAAxAxbA+=基本运算定义性质定义法初等变换法求法伴随矩阵法分块矩阵法逆 的列（或行）向量组线性无关充要条件 齐次线性方程组只有零解非齐次线性方程组有唯一解的特征值均不为零矩定义秩 性质阵求法伴随 定义矩阵性质定义性质求矩阵的逆初等变换与初等矩阵求矩阵的秩线性表示应用求极大线性无关组解线性方程组求二次型的标准形分块矩阵 2 202022 2 考考
6、研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 7 二、二、重点题重点题型型 重重点题型点题型一一 求求高高次幂次幂【方法方法】【例例 2.1】设213146Aabc=，B为 3 阶矩阵，满足BAO=，且()1r B，则nA=.【详详解解】【例例 2.2】设200320412A=，则=nA .【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 8【例例 2.3】设121121363A=，P为 3 阶可逆矩阵，1BP AP=，则2022()BE+=.【详详解解】重重点题型点题型二二 逆的判定与计算逆的判定与计算【方法方法】【例例
7、2.4】设 n 阶矩阵A满足AA22=，则下列结论不正确的是【】（A）A可逆 （B）AE可逆 （C）+A E可逆 （D）3AE可逆【详详解解】【例例 2.5】设,A B为n阶矩阵，,a b为非零常数.证明：（I）若ABaAbB=+，则ABBA=；（II）若2AaABE+=，则ABBA=.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 9【例例 2.6】（2015，数二、三）设101101aAaa=，满足3AO=.（I）求a的值；（II）若矩阵X满足22XXAAXAXAE+=，求X.【详详解解】重重点题型点题型三三 秩秩的的计算计算与与证明证
8、明【方法方法】秩的性质秩的性质（1）设A为nm阶矩阵，则()min,r Am n；（2）()()()r ABr Ar B+；（3）()min(),()r ABr A r B；（4）max(),()()()()r A r Br ABr Ar B+；（5）()()(0)r Ar kA k=；（6）设A为nm阶矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ=；2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 10（7）设A为nm阶矩阵，若()r An=，则()()r ABr B=；若()r Am=，则()()r C
9、Ar C=；（8）()()()()TTTr Ar Ar A Ar AA=；（9）设A为nm阶矩阵，B为sn阶矩阵，ABO=，则()()r Ar Bn+.【例例 2.7】（2018，数一、二、三）设,A B为n阶矩阵，()X Y表示分块矩阵，则【】（A）()()r A ABr A=（B）()()r A BAr A=（C）()max(),()r A Br A r B=（D）()()TTr A Br A B=【详详解解】【例例 2.8】设A为n阶矩阵.证明：（I）若AA=2，则()()r Ar AEn+=；（II）若2AE=，则()()r AEr AEn+=.【详详解解】2 202022 2 考考研
10、研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 11 重重点题型点题型四四 关于伴随矩阵关于伴随矩阵【伴伴随随矩矩阵阵的性质的性质】（1）|0*1*11,AAAA AA EAA AA AA=；（2）*1*()nkAkA=；（3）*()ABB A=；（4）1*nAA=；（5）*()()TTAA=；（6）1*1()()AAAA=；（7）2*()nAAA=；（8）*,()()1,()10,()1n r Anr Ar Anr An=.【例例 2.9】设n阶矩阵A的各列元素之和均为 2，且=6A，则A的各列元素之和均为【】（A）2 （B）13 （C）3 （D）6【详详解解】【例例 2.10
11、】设()ijAa=为(3)n n 阶非零矩阵，ijA为ija的代数余子式，证明：（I）*(,1,2,)TTijijaA i jnAAAAE=且1A=；（II）*(,1,2,)TTijijaA i jnAAAAE=且1A=.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 12 重点重点题型题型五五 初等初等变换变换与与初等矩初等矩阵阵【初等变换与初等初等变换与初等矩阵矩阵的性质的性质】（1）(,)1E i j=，()E i kk=，()1E ij k=；（2）(,)(,)TE i jE i j=，()()TE i kE i k=，()()TE
12、 ij kE ji k=；（3）1(,)(,)E i jE i j=，11()E i kE ik=，1()()E ij kE ijk=；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例例 2.11】（2005，数一、二）设A为)2(nn阶可逆矩阵，交换A的第 1 行与第 2 行得到矩阵B，则【】（A）交换*A的第 1 列与第 2 列，得*B（B）交换*A的第 1 行与第 2 行，得*B（C）交换*A的第 1 列与第 2 列，得*B（D）交换*A的第 1 行与第 2 行，得*B 【详详解解】【例例 2.12】设123012001A=，00
13、1010100P=，110010001Q=，则1 20212022()()TPA Q=_.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 13 第第三三章章 向量向量 一一、知识体系知识体系11221212121212 ,(,)(,)(,)(,)ssssssskkkkxxxrr +=+=初等行变换基本运算定义非齐次线性方程组有解充要条件线性表示充分条件求法行最简形矩阵定义向线性相关量121212121212 (,)0(,)(,)0(,sssssxxxrsxxxr =至少有一个向量可由其余向量线性表示充要条件齐次线性方程组有非零解充分条件定义
14、任意向量均不能由其余向量线性表示线性无关充要条件齐次线性方程组只有零解12,)(,)sss=初等行变换充分条件 定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵 二二、重点题型重点题型 2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 14 重点题型一重点题型一 线性表示的判定与计算线性表示的判定与计算【方法方法】【例例 3.1】设向量组,与数,k l m满足0(0)klmkm+=，则【】（A）,与,等价 （B）,与,等价 （C）,与,等价 （D）与等价【详详解解】【例例 3.2】（2004，数三）设123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)TT
15、Taabab=+=+，(1,3,3)T=.当ba,为何值时，（I）不能由123,线性表示；（II）可由123,唯一地线性表示，并求出表示式；（III）可由123,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 15【例例 3.3】（2019，数二、三）设向量组（I）2123(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)TTTa=+；向量组（II）2123(1,1,3),(0,2,1),(1,3,3)TTTaaa=+=+.若向量组（I）与（II）等价，求a的值，并将3由123,线性表示.【详详解解】重点
16、题型重点题型二二 线性线性相关与线性无关相关与线性无关的判定的判定【方法方法】【例例 3.4】（2014，数一、二、三）设123,均为 3 维列向量，则对任意常数,k l，1323,kl+线性无关是123,线性无关的【】（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 16【例例 3.5】设A为n阶矩阵，123,均为n维列向量，满足2110AA=，2212AA=+，2323AA=+，证明123,线性无关.【详详解解】【例例 3.6】设 4 维列向量123
17、,线性无关，与 4 维列向量21,两两正交，证明21,线性相关.【详详解解】重点题型重点题型三三 极大线性无关组的计算与证明极大线性无关组的计算与证明【方法方法】【例例 3.7】设1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)TTTTaa=+=.（I）当a为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组；（II）当a为何值时，该向量组线性无关，并将(4,1,6,10)T=由其线性表示.【详详解解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 17【例例 3.8】证明：（I）设,A B为m n矩阵，则()()
18、()r ABr Ar B+；（II）设A为m n矩阵，B为ns矩阵，则()min(),()r ABr A r B.【详详解解】重点题型重点题型四四 向量空间（向量空间（数一专题数一专题）【方法方法】过渡过渡矩阵矩阵 由基12,n 到基n,21的过渡矩阵为1212(,)(,)nnC =，11212(,)(,)nnC =.坐标坐标变换变换公式公式 设向量在基12,n 下的坐标为12(,)Tnxx xx=，在基n,21下的坐标为12(,)Tnyy yy=，则坐标变换公式为Cyx=.【例例 3.9】（2015，数一）设向量组123,为3R的一个基，11322k=+，222=，313(1)k=+.（I）
19、证明向量组123,为3R的一个基；（II）当k为何值时，存在非零向量在基123,与基123,下的坐标相同，并求所有的.2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 18【详详解解】（I）12313213123201(,)(22,2,(1)(,)020201kkkk =+=+令201020201Ckk=+，则40C=，从而123,线性无关，故123,为3R的一个基.（II）设在基123,与基123,下的坐标为x，则 123123123(,)(,)(,)xxCx =得()0CE x=.对CE作初等行变换，1011010100102000CEkkk=当0k
20、=时，方程组()0CE x=有非零解，所有非零解为101xc=，在两个基下坐标相同的所有非零向量为 123123311(,)(,)0()1xcc =，其中c为非零常数 2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 19 第第四章四章 线性方程组线性方程组 一一、知识体系知识体系 1 1220()0 0()()()()()1 ()()()()0 n rn rAxr AnAxAxr AnAxbr Ar Ar Ar AAxbAxbr Ar AnAxbr Ar AnAxkkk=+性质只有零解有非零解解的性质与判定无解判定有唯一解有无穷多解的通解解的结构线性方
21、程组1 122 ()()()()()()(),n rn rAxbkkkAXBAXBr Ar ABAXBr Ar ABnAXBr Ar ABnABA B=+=初等行变换的通解定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解求法行最简形矩阵定义公共解求法定义公共解与同解的行向量组等价同解充要条件()()Ar Arr BB=二、二、重点题型重点题型 重点题型一重点题型一 解解的判定的判定【方法方法】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 20【例例 4.1】（2001，数三）设A为n阶矩阵，为n维列向量，且()0TArr A=，则线性方程组（A）Ax=有无穷多
22、解 （B）Ax=有唯一解（C）00TAxy=只有零解 （D）00TAxy=有非零解 【详详解解】【例例 4.2】设A为mn阶矩阵，且()r Amn=，则下列结论不正确的是【】（A）线性方程组0TA x=只有零解 （B）线性方程组0TA Ax=有非零解（C）b，线性方程组TA xb=有唯一解 （D）b，线性方程组Axb=有无穷多解【详详解解】重点重点题型二题型二 求求齐次线性方程组齐次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解【方方法法】【例例 4.3】（2011，数一、二）设1234(,)A =为 4 阶矩阵，(1,0,1,0)T为线性方程组0=Ax的基础解系，则*0A x=的基础解系可为【】
23、（A）12,（B）13,（C）123,（D）234,【详解详解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 21【例例 4.4】（2005，数一、二）设 3 阶矩阵A的第 1 行为(,)a b c，,a b c不全为零，12324636Bk=，满足ABO=，求线性方程组0Ax=的通解.【详解详解】【例例 4.5】（2002，数三）设线性方程组 1231231231230000nnnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxax+=+=+=+=其中0a，0b，2n.当,a b为何值时，方程组只有零解、有非零解，当方程组有非零解时，
24、求其通解.【详解详解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 22 重点重点题型题型三三 求求非非齐次线性方程组齐次线性方程组的的通解通解【方法方法】【例例 4.6】设A为 4 阶矩阵，k为任意常数，123,为非齐次线性方程组Axb=的三个解，满足 121234 +=，2323245 +=.若()3r A=，则Axb=的通解为【】（A）11203142k +（B）21324051k +（C）01102132k +（D）11121011k +【详解详解】【例例 4.7】（2017，数一、二、三）设 3 阶矩阵123(,)A =有三个不同的特征值，
25、其中3122=+.（I）证明()2r A=；（II）若123=+，求线性方程组Ax=的通解.【详解详解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 23【例例 4.8】（2010，数一、二、三）设1101011A=，11ab =，线性方程组Axb=有两个不同的解.（I）求,a的值；（II）求方程组Axb=的通解.【详解详解】【例例 4.9】设A为m n阶矩阵，且()r Ar=.若12,n r 为齐次线性方程组0=Ax的基础解系，为非齐次线性方程组bAx=的特解，证明：（I）12,n r 线性无关；（II）12,n r +线性无关；（III）12,n
26、 r +为bAx=所有解的极大线性无关组.【详解详解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 24 重点重点题型题型四四 解解矩阵方程矩阵方程【方法方法】矩阵方程矩阵方程解解的判定的判定 AXB=无解()()r Ar AB AXB=有唯一解()()r Ar ABn=AXB=有无穷多解()()r Ar ABn=定义拉格朗日配方法二次型与标准形标准形的求法合同变换法正交变换法 定义与有相同的正、负惯性指数充要条件有相同的正、负特征值的个数合同矩阵充分条件与 相似二次必要条件与 等价型定义有性质正定矩阵 0(1,)0 iifnAEAAainA=的正惯
27、性指数为与 合同充要条件的特征值均大于零的顺序主子式均大于零必要条件 二、二、重点题型重点题型 重点重点题题型型一一 求求二次型二次型的的标准形标准形【方法方法】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 35【例例 6.1】（2016，数二、三）设二次型222123123122313(,)()222f x xxa xxxx xx xx x=+的正、负惯性指数分别为 1，2，则【】（A）1a （B）2a （C）21a （D）1a=或2【详解详解】【例例 6.2】（2018，数一、二、三）设二次型2221231232313(,)()()()f x x
28、xxxxxxxax=+.（I）求123(,)0f x x x=的解；（II）求123(,)f x xx的规范形.【详详解解】【例例 6.3】（2020，数一、三）设二次型22121122(,)44f x xxx xx=+经正交变换1122xyQxy=化为二次型22121122(,)4g y yayy yby=+，其中ab.（I）求,a b的值；（II）求正交矩阵Q.2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 36【详详解解】重重点点题型题型二二 合同合同的的判判定定【方法方法】【例例 6.4】（2008，数二、三）设1221A=，与A合同的矩阵是【
29、】（A）2112 （B）2112 （C）2112 （D）1221 【详解详解】【例例 6.5】设,A B为n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得 PAB=；1P ABPBA=；1P APB=；22TP A PB=.成立的个数是【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【详解详解】2 202022 2 考考研研线性代数线性代数强化强化讲义讲义：主讲主讲晓千老师晓千老师 37 重点重点题型题型三三 二次型正定与二次型正定与正定正定矩阵矩阵的判定的判定【方法方法】【例例 6.6】设A为m n阶矩阵，且()r Am=，则下列结论 TAA与单位矩阵等价；TAA与对角矩阵相似；TAA与单位矩阵合同；TAA正定.正确的个数是【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【详解详解】【例例 6.7】证明：（I）设A为n阶正定矩阵，B为n阶反对称矩阵，则2AB为正定矩阵；（II）设,A B为n阶矩阵，且()r ABn+=，则TTA AB B+为正定矩阵.【详解详解】