1、32 根本不等式与最大(小)值 1.了解利用根本不等式求最大(小)值时应注意的问题 2.会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题 3.会用根本不等式解决实际问题.1.用根本不等式解决简单的最大(小)值问题是本节考查的热点 2.本节内容常与函数、方程等内容结合命题 3.对本节内容的考查，各种命题形式都可能出现.1基本不等式ab2 ab成立的条件是 a，b 均为 数，其中等号成立的条件是 .非负 ab 2用不等号连接a2b22 ab22 ab.3某农场主想围成一个10 000平方米的矩形牧场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？(米)(当且仅当ab 米时取等号)此时矩形为 ，边长为 米，用料最省 解析：
2、不妨设围成长为 a 米，宽为 b 米的矩形牧场，依题意知 ab10 000，周长为 2a2b.则 2a2b2 2a 2b 400 100 正方形 100 1利用根本不等式求最值 设x，y为正实数(1)假设xys(和为定值)，那么当 时，积xy取得最大值 .(2)假设xyp(积为定值)，那么当 时，和xy取得最小值 .xy xy s24 2 p 2利用根本不等式求积的最大值或和的最小值，需满足的条件(1)x，y必须是 (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 (3)等号成立的条件是否满足 综上，解决问题时要注意“一正、二定、三相等 正数 定值 定值 1下
3、列各函数中，最小值为 2 的是()A yx1x B ysin x1sin x x0，2 Cyx23x22 Dyx4x13(x1)解析：A 中当 x0 时，y0，故 2 不是最小值；B 中，x0，2，sin x1，y 取不到 2；C 中函数可化为 y x221x22，x221，y2；答案：D D 中 yx14x122 422，当且仅当 x14x1，即 x3 时取等号，故 2 为其最小值 答案：B 2 已知 0a1，则 a(1a)取最大值时 a 的值为()A.13 B.12 C.14 D.23 解析：0a1，a(1a)a1a2214，当且仅当 a1a，即 a12时取等号 3设a、bR，且ab2，那
4、么3a3b的最小值是_ 答案：6 解析：3a3b2 3a 3b2 3ab2 326.当且仅当 3a3b，即 ab1 时取等号 答案：9 4 设 x，y 为正数，则(xy)1x4y的最小值为_ 解析：原式1yx4xy452yx4xy9，当且仅当yx4xy，即 y24x2时取等号 5已知 0 x13，求函数 yx(13x)的最大值 解析：0 x0，yx(13x)13 3x(13x)133x13x22112.当且仅当 3x13x 即 x16时，等号成立 当 x16时，函数取最大值112.(1)求函数 f(x)x22x6x1(x1)的最小值(2)已知关于 x 的不等式 2x2xa7 在 x(a，)上恒
5、成立，求实数 a 的最小值 策略点睛 规范作答(1)x1，x10 f(x)x22x6x1x124x19x1(x1)9x142x19x142 当且仅当 x19x1，即 x2 时取等号，当 x2 时，f(x)取得最小值 2.(2)设 f(x)2x2xa，x(a，)xa0 f(x)2(xa)2xa2a22xa2xa2a 42a 当且仅当 2(xa)2xa，即 xa1 时等号成立，当 x(a，)时，f(x)min42a 又f(x)7 在(a，)恒成立，42a7，a32，a 的最小值为32.题后感悟(1)使用根本不等式求最值，各项必须为正数；积或和为定值；等号能够取到(2)如果对于两个负数相加，可以先求
6、它们相反数的和的最值，再用不等式的性质，求这两个负数和的最值(3)利用根本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用根本不等式的条件(4)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等 1.(1)若 x0，求 f(x)12x3x 的最大值(2)已知 0 x12，求 y12x(12x)的最大值(3)已知 x1，求 yx2x1的最小值 解析：(1)x0.则f(x)12x(3x)212x 3x12 即 f(x)12.当且仅当12x3x，即 x2 时，f(x)取最大值12.(2)0 x12，02x1
7、,012x1，y12x(12x)14 2x(12x)14122 116，即当 x14时，ymax116(3)yx2x1x211x1x11x1 x11x12224，当且仅当1x1x1，即(x1)21 时，等式成立，x1，当 x2 时，ymin4.x0，y0，且xy4xy12，求xy的最小值 可将条件中的等式利用根本不等式转化为关于xy的不等式，通过解不等式求出xy的范围，也可以将条件变形代入xy，化为关于x(或y)的函数求最值问题 解题过程 方法一：x0，y0，xy4xy124 xy12，(xy)24 xy120，(xy6)(xy2)0，xy6，当且仅当 4xy 时取等号 由 4xy 且 xy4
8、xy12，得 x3，y12.此时 xy 有最小值 36.方法二：由 xy4xy12，得 y124xx10，x1，代入 xy 得 xy124xxx1(x1)令 tx10，得 xy43t1t1t16t4t20 216t 4t2036.当且仅当16t4t，即 t2 时取等号，即 x3，y12 时，xy 有最小值 36.题后感悟 2.已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值 解析：方法一：1x9y1，xy(xy)1x9y10yx9xy.x0，y0，yx9xy2yx9xy6.当且仅当yx9xy，即 y3x 时，取等号 又1x9y1，x4，y12.当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.方法
9、二：由1x9y1，得 xyy9，x0，y0，y9.xyyy9yyy99y9y9y91(y9)9y910.y9，y90，y99y9102y99y91016，当且仅当 y99y9，即 y12 时取等号 又1x9y1，则 x4，当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.如下图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)假设使每间虎笼面积为24 m2，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解题过程(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，那么
10、由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，那么Sxy.方法一：由于 2x3y2 2x 3y2 6xy，2 6xy18，得 xy272，即 S272，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由 2x3y18，2x3y，解得 x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大 方法二：由 2x3y18，得 x932y.x0，0y6，Sxy932y y32(6y)y.0y6，6y0，S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，那么l4x6y.方法一：2x3y2 2x 3y2 6xy2
11、4，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由 2x3y，xy24，解得 x6y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 方法二：由 xy24，得 x24y.l4x6y96y6y616yy 6216y y48.当且仅当16yy，即 y4 时，等号成立，此时 x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 题后感悟 在解此类应用题时，应先读懂题意，理清思路，列出函数关系式若函数关系式可整理变形为 f(x)axbx的形式，一般情况下这类问题的最值我们可以利用基本不等式求解，但是在利用基本不等式时，一定要注意不等式成立的三个条件 3.某学校
12、为了解决教职工的住房问题，方案征用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍楼土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，同为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用(总费用为建筑费用和征地费用之和)解析：设楼高 n 层，总费用为 y 元，根据题意得征地面积为2.5 Anm2，故征地费用为2.5An 23885970An元 楼层建筑费用为：445445(44530)(445302)44530(n2)An(15n40030n)A(元
13、)，y5970An15n40030nA 15n6000n400 A 215n6000n400 A1000A(元)，当且仅当 15n6000n，即 n20(层)时，等号成立，当楼高 20 层时，总费用最少，为 1000A 元 1利用根本不等式求最值时，应注意的问题(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值(3)确保等号成立 以上三个条件缺一不可可概括为“一正、二定、三相等 注意 连续应用根本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致假设不能同时取等号，那么不能求出最值 2应用基本不等式的常用技巧 获得定值条件是应用基
14、本不等式的难点和关键常用的方法有：(1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中 如 f(x)x5x2x1x27x10 x1 x125x14x1 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑(2)常值代换 这种方法常用于“已知 axbym(a、b、x、y 均为正数)，求1x1y的最小值”“已知axby1(a、b、x、y 均为正数)，求 xy 的最小值”两类题型(3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可“利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”如“已知 a，b 为正数，abab3，求 ab 的取值范围”可构造出不等式 2 ababab3，即(ab)22 ab30.3解不等
15、式实际应用问题的思想方法 已知 x0，y0，且 x2y1，求1x1y的最小值【错解一】x2y1，1x1y11x1y1 x2y1x1y1 x1x2y1y1 2x1x22y1y1 22 2112 2.1x1y的最小值为 12 2.【错解二】x2y1，1x1y1x1y1 1x1y(x2y)2 2xy 21xy4 2，1x1y的最小值为 4 2.【错因】错解一：在求解过程中两次使用基本不等式，第一次是x1x2，第二次是2y1y2 2，这两次中取“”号的条件不一样第一次中取“”号的条件为 x1，而第二次中取“”号的条件为 y22，此时 x2y1 21，不符合已知条件，所以这两次使用基本不等式的结果相加后的“”号取不到 错解二在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y2 2xy，1x1y21xy，同样这两次中取“”号的解分别为 x2y 与 xy，这自相矛盾，所以两式相乘后“”号取不到【正解】x2y1，且 x0，y0，1x1y(x2y)1x1y 12xy2yx32 2，当且仅当xy2yx，即 x22y2时取“”号 x2y1，x22y2，x0，y0，解得 x 21，y122.即 x 21，y122时，1x1y取最小值为 32 2.