1、第 38 卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vol 38，No 6 2022第 6 期NATUAL SCIENCE JOUNAL OF HABIN NOMAL UNIVESITY二阶再生张量空间与再生张量的性质殷洪才1，全玉锦2(1 广东外语外贸大学;2 辽东学院)【摘要】将二阶张量借以线性空间的方式来描述，进而在此建立泛函分析的内积、范数等结构，将再生核概念引入到张量空间中去 证明了四阶再生张量是二阶张量空间的再生核 再生张量的唯一性以及其他属性依次给予证明【关键词】张量;再生张量空间;再生基【中图分类号】O177 92【文献标识码】A【文章编号】1000 5617(2022)06 0014 04
2、收稿日期:2022 07 090引言张量是数学的一个重要分支，近代物理和力学的发展促进了它的充实与完善 它的应用也越来越广泛 在文献 1 中作者在光学领域应用张量研究了反射线;在文献 2 中作者在材料力学中应用张量研究了弹性问题;在文献 3 中作者在 Dirac 场的重正化提出了张量和 Casimir 效应;还有核物理等方面的应用4 该文将张量以线性空间来描述，进而建立泛函分析相应结构，尤其是将再生核概念引入到张量中去 再生核本是泛函分析中一种正定的积分核5，从某种意义上看，它是iesz表现定理的实现6 近年来，再生核在物理模型计算中有着积极的贡献715 该文就是在将这些积极的因素引入到张量分
3、析中，扩大再生核计算优势，相信这将对物理领域中的研究、尤其是在计算物理中开辟一种新的计算方法来1一些预备知识与符号(1)设 gri，grj分别表示互对偶协变基矢量、逆变基矢量grigrj=ji gri=gijgrj，gij=gigj;gri=gijgrj，gij=grigrjgijgjl=1，i=l0，i l(2)协(逆)变基矢量新老转化关系gri=jigrjgri=ijgrjkijk=1，i=j0，i j(3)设基矢量 gi或 grj，它们的并矢 gigj是二阶基张量 二阶张量 T 分量的升降规律Tij=girgsjTrs=griT jr=gsjTi sTij=girgjsTrs=girTr
4、 j=gjsT siTi j=girgisT sr=gisTis=girTrj(4)两个张量(阶数 2)的双点内积设张量T=Tij klgrigrjgrkgrl、S=Srs p t qgrrgrsgrtgrpgrqT S=Tij klgrigrjgrkgrl Srs p t qgrrgrsgrtgrpgrq=Tij klSrs p t qgrigrj(grkgrr)(grlgrs)grtgrpgrq=第 6 期二阶再生张量空间与再生张量的性质Tij klSrs p t qgrigrjkrlsgrtgrpgrq=Tij klSkl p t qgrigrjgrtgrpgrq注意Tij klSkl
5、p t q中原有的自由标 r，s，l，k 不再是遍历的了，l、k 称为哑标 所以 T S=Tij klSkl p t qgrigrjgrtgrpgrq是减少了 4 阶的张量(T，S分别是 4、5 阶张量)，T S是4+5 4=5 阶张量，它的自由标是 i，j，t，p，q2二阶张量空间基于张量的一些已有运算从公理化角度严格叙述，使得二阶张量构成一个赋范空间 为再生引入奠定基础设 =Tr|Tr是二阶张量 定理2 1假设gij是正定矩阵，则在张量加法、数乘和双点内积下构成内积空间、赋范空间证明仅检验内积公理 也仅对张量协变型式检验，设 T=Tijgrigrj，S=Sijgrigrj，=ijgrigr
6、j，(1)内积正定性T T=TijTrsgjrgis=TijTsjgis=TijTij 0和TijTij=0T=0(2)交换性T S=Tijgrigrj Srsgrrgrs=Tijrrs(grigrr)(grjgrs)=SrsTij(grrgri)(grsgrj)=Srsgrrgrs Tijgrigrj=S T(3)数因子结合性Tr Sr=Tijgrigrj Srsgrrgrs=TijSrsgrigrjgrrgrs=(TijSrsgrigrj grrgrs)=(Tr Sr)(4)分配率(Tr+Sr)r=(Tijgrigrj+Sijgrigrj)rsgrrgrs=(Tij+Sij)grigrj
7、rsgrrgrs=(Tij+Sij)rsgrigrj grrgrs=(Tijrs+Sijrs)grigrj grrgrs=Tijrsgrigrj grrgrs+Sijrsgrigrj grrgrs=Tijgrigrj rsgrrgrs+Sijgrigrj rsgrrgrs=Tr r+Sr r定义2 1设T，称T:=TijTij为二阶张量 T的范数 则 为赋范空间3二阶再生张量空间与再生张量的性质再生性质本是 iesz 表现定理6 对线性泛函理论表示提出来的，即对任意空间 H 上的连续泛函 f(x)，必存在 H 唯一的元 y，使得 f(x)=x，y 近年来国内外一些学者将定理中的 y在一定空间下
8、给出来的具体表达式 s(t)，得到x(s)=x(t)，s(t)5，这在应用中起到了关键 该文就是在这种思想引导下，来完成张量分析中的再生基概念定义 3 1设 为定理 2 1 叙述的内积空间 如果存在一个四阶张量 K=K rsijgrigrjgrrgrs，使得对任意二阶张量 T=T jigrigrj，有T K=T，K T=T(1)称为二阶再生张量空间;K=K rsijgrigrjgrrgrs称为 的再生张量定理 3 1二阶张量空间 是再生张量空间证明取四阶张量:K=K rsijgrigrjgrrgrs，其中 K rsij=1，i=r，and j=s0，否则(2)对于任意二阶张量 T=T jigr
9、igrj，有T K=T jigrrgrj K rslkgrlgrkgrrgrs=T jiKrslk(grigrl)(grjgrk)grrgrs=T jiK rslkkjgilgrrgrs=T jisjgirgrrgrs=T jigirgrrgrj=T jigrigrj=TK T=K rsijgrigrjgrrgrs T lkgrkgrl=K rsijT lkgrigrj(grrgrk)(grsgrl)=K rsijT lkkrgslgrrgrs=T lkkigjlgrigrj=T ligjlgrigrj=Tligrigrl=T定理 3 2张量空间 是再生张量空间的再生张量(2)是唯一的证明设=
10、rsijgrigrjgrrgrs也是的再生张51哈尔滨师范大学自然科学学报2022 年 第 38 卷量Arab=defr gragrb=rsijgrigrjgrrgrs gragrb=abijgrigrj，(1 a，b 3);Brab=defgragrb Kr=gragrb K klpqgrpgrqgrkgrl=K klpqgapgbqgrkgrl，(1 a，b 3)由于，K都是 的再生张量，有Aab=Aab K=abijgrigrj K;Bab=Bab=K klpqgapgbqgrkgrl而Aab=abijgrigrj K=abijgrigrj K klpqgrpgrqgrkgrl=abij
11、K klpqgipgjqgrkgrl=abijK klpqgikgjlgrkgrl=abijK klpqgrigrjBab=T K klpqgapgbqgrkgrl=rsijK rspqgapgbqgrigrj=rsijK rspqgargbsgrigrj=qbijK rspqgrigrj所以Aab=Bab，(1a，b3)再做并积，有相等的四阶张量Aabgragrb=Babgragrb，(1 a，b3)而当将自由标 a、b 变为哑标，便有Aabgragrb=，Babgragrb=K，故=K定理 3 3设 K=K rsijgrigrjgrrgrs是二阶张量再生空间 的再生张量，则 K grpgr
12、q1p，q3(3)是 的一组基证明设 pqK grpgrq=0对任意给定的1 l，k 3，取二阶张量 Tlk=grlgrk用 Tlk与上式做双点积，有0=0r Trlk=(pqKr grpgrq)Trlk=pqK rsij(grigrjgrrgrs grpgrq)grlgrk=pqK rsijprqsgrigrjgrlgrk=pqK pqijgrigrj grlgrk=pqK pqijiljk=pqK pqlk=lk，所以 K grpgrq1 p，q3是线性无关 进而是 的基称这个基为 的再生基，记为 Kpq1p，q3性质3 1设 T，则 T关于再生基 Kij的分解式为 ijKij，其中 ij
13、=T gigk证明T=ijKij=ij(K grlgrj)两边双点积glgk，1 l，k 3，T glgk=ij(K grlgrj)glgk=ij4结束语在 2 中，遵循张量分析中张量的缩并等定义给出了二阶张量内积空间、赋范空间的概念 在此基础上，3 中引进了再生张量空间定义 证明了二阶张量空间 是一个再生张量空间 并给出该空间的再生张量 K=K rsijgrigrjgrrgrs，以及证明了再生张量是唯一的 此外，以这个具有特点的张量而提出 的一组基 K grpgrq1p，q3参考文献 1姬金祖，刘战合，黄沛霖 反射张量在射线追踪法中的应用 J 系统工程与电子技术，2011(08):1685
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