1、 50 2023 年 2 月第 1 期总第 177 期金融理论与教学Finance Theory and Teaching多货币债券定价的跳跃扩散模型随机路径分析王雪1，王小利2（1.华侨城集团，广东 深圳 518300；2.内蒙古工业大学，内蒙古 呼和浩特 710005）摘要：针对同一债券特别是主权债券以不同币种发行时所产生的违约信用风险进行研究，同时关注回收率对汇率形成的影响。研究认为：以远期汇率为对冲工具的组合无效，而同时考虑违约及不违约情况的期望汇率定价是一个有效选择。在这一理念基础上，研究还讨论了确定期望汇率的分析框架，并利用跳跃扩散模型复制策略进行风险对冲，然后对不同币种债券定价，
2、最后利用蒙特卡洛技术模拟汇率生成的随机路径。关键词：跳跃扩散；债券定价；汇率的随机路径；蒙特卡洛模拟中图分类号：F830.91 文献标识码：A 文章编号：1004-9487（2023）01-0050-05收稿日期：2022-01-12作者简介：王雪（1991-），女，内蒙古包头人，硕士，研究方向为金融、经济；王小利（1953-），男，山西平鲁人，教授，博士，研究方向为金融、经济。通讯作者：王小利。一、引言国外资金进入退出一国债券市场投资不存在无风险套利条件是，两国即期的利率比与即期汇率的乘积应该等于远期汇率。在这里国外资金以即期汇率换入本国货币，以本国货币投入债券市场，再通过投资结束时刻汇率换
3、回投入国货币，为了规避汇率变化风险，可以通过签订一个远期汇率来对冲汇率变动风险。但问题在于如果出现违约情况，一个公司或一个国家同时发行本币计价和以外币计价的公司债券或主权债券情况又会如何，以及这种情况的出现会对债券定价及汇率变动路径产生什么影响。显然，如果没有违约问题，两类投资方式结果相同，可以通过构造一个组合包括本币计价债券和外币计价债券，再通过签订一个远期合约，利用复制策略为债券定价，实现风险对冲。但是如果出现违约，由于汇率波动的影响，对两类投资收益的影响会有所不同。假设债券违约且仅有 30%的回收率，违约发生等于只能利用 30%的远期汇率对冲汇率风险，剩余70%的远期合约没有标的资产需要
4、对冲，如果汇率变化对投资方不利，投资方只能承担汇率变动风险。研究利用跳跃扩散模型对这一假设做资产组合定价对冲和汇率变化路径的随机模拟分析。扩散模型假设金融工具变动服从一个布朗运动的热动力转换扩散过程，这一方法有一定的局限性，因为大部分金融资产价格都存在一定的跳跃，为了描述这一特点，扩散模型在布朗运动的基础上加入了服从泊松分布的跳跃项。认为金融工具变动除了受几何布朗运动驱使，还可能出现独立布朗运动的跳跃，这个跳跃服从泊松过程，这一理念极大地拓展了随机模型的应用范围。近年来基于扩散跳跃模型的研究大致在几个方面展开：Cain,Kou S.（2012）利用超指数跳跃扩散模型对亚式期权定价进行了修正；L
5、ih,Wells M T,DOI:10.13298/ki.ftat.2023.01.018 51 Yu C I.（2008）做了基于利用 Bayesian 新息概率调整的 Levy 跳跃模型金融资产收益的动态研究；Da.Fonseca J.Jgnatieva K.（2019）利用扩散跳跃对跳跃强度的仿射程度以及维度做了实证分析；Eraker B,Johannes M,Polson N.（2003）则直接研究跳跃对波动及收益的效应问题；而 Khagleeva I.（2014）在数据频率条件下研究了跳跃的数据频率效应等。这些研究在不同程度上扩展了跳跃扩散模型在金融工具领域中的研究范围。本文研究结构
6、如下：第二部分是关于分析的基本技术框架，其中包括基本变量分析，Ito 引理条件下的基本随机微分方程分析以及基于指示函数的期望过程求解等；第三部分为定价分析，包括资产组合构造，基本产品定价分析以及违约后 0 回收率和 R 回收率的定价分析；第四部分利用蒙特卡洛模拟随机模拟了汇率跳跃扩散的基本路径；第五部分，结论。二、分析技术框架假设违约事件是一个离散随机变量，违约时间 是一个随机时间变量，且服从泊松过程。这一假设表明虽然无法确定违约的具体时间，但可以确定违约何时到来的概率。如果违约时间服从一个泊松过程：Pt(T)=Pro(T/t)=e-h(T-t)这里，e-h(T-t)是违约时刻不会发生在时刻
7、T 之前，t 是目前时刻，进一步假设 h 表明违约发生的强度，是一个常数。这是一个累计概率分布，表明在时刻 T 之前，违约不会发生。对累计分布求关于时刻 T 的导数，可以得到在某个时刻 Tt，违约可能发生的概率。F(t,T)=limT0=he-h(T-t)更进一步，如果 dt 趋向于 0,则在任意给定时刻 t 和 t+dt 之间，违约事件的概率密度函数为 h，即 F（t，t）=h。违约对组合收益的影响表现为两个方面，一是违约发生对汇率的影响。这表现为由于违约发生对汇率造成的影响，这个影响一般是负影响，表现为汇率对本国货币的贬值。二是违约造成的远期汇率兑付刚性风险，即违约后无论回收率如何，远期汇
8、率必须执行。进一步假设即期汇率为 St，外国货币市场利率为 rf，本国货币市场利率为 rd，外汇远期汇率为 Ft，不存在无风险套利利率汇率。等价关系为，Ft=S0e(rf-rd)，汇率利率关系的随机微分方程的简单形式为：dS=dt+dW，dWt为布朗运动。由于违约会引起汇率变化，是一个跳跃，如果汇率 St服从对数正态分布,且在一定时间内存在这样一个跳跃 J,那么关于 St的随机微分方程为：dlogSt=h(1-eJ)1tdt+(J+Z)dNt+dWt这里 1t是一个指示函数，表明如果 t，取值 1，如果 T=Pro(T)=e-hT美元债券的价格 PtUSD=e-ht由于零息债券假设及完全市场条
9、件下瞬时利率等于 0，t 时刻债券价格等于 T 时刻债券价格，等于当违约时间大于 T 时刻累积概率，因此以美元计的债券价格等于 e-hT。欧元债券由于存在跳跃过程，价格为，PEUR=e-hTeJ，回报为：PT=PtEUR=EST 1T=e-hTeJ，通过构造的组合，卖出 1 单位美元债券，买入 e-hT(1-eJ)/S0数量欧元债券，远期合约价值为零。当 T 时刻以后，如果违约发生，合约与债券价格同时为零，没有变化，问题在于如果违约没有发生，是否会有同样的价格，如果模型同时考虑了违约发生和违约没有发生情况，这表明这一复制和对冲是有效的复制与对冲，对冲比例依赖于信用风险和跳跃力度，首先取决于 h
10、，然后取决于 J，由于对冲比例随时间变化而变化，在给定美元和欧元数量的条件下，需要通过不断重配资金比例实现无风险收益，这是一个动态对冲过程。如回收率 R 大于零，债券价格会如何变化？PTUSD=美元债券价格期望：P0=EPT=E1 T+R t dt+(eJ-1+Z)dNt+dW这里 f(St+J)是跳跃发生后的 f 值。由此汇率S 的跳跃扩散模型为：ST=S0 exp(h(1-eJ)1t dt+(eJ-1+Z)dNt+dW)这里的漂移项 等于 h(1-eJ)，dWt为扩散项，JdN 为跳跃项。由于布朗运动和泊松过程之间没有相关性，因此如果发生一次跳跃（dN=1）那么 S 应该有一个立即达到（e
11、J-1）的跳跃，变量 J可以假设为从一个概率密度函数为 P(J)的分布中抽取的样本，这个分布同时独立于布朗运动和泊松过程，这里简化为 10%的一个跳跃。c 是违约债券的回收率，表示违约刚性兑付形成的远期汇率风险，由于存在有利和不利两部分风险，整个风险用(1/c)乘以波动率 来度量，随机参数 Z 服从对数正态分布。进一步概率密度 h=1%，波动率=8%，时间刻度以天计算，一年 250 天，每天为0.004 步长。通过蒙特卡罗随机模拟得到关于信用违约跳跃扩散模型的汇率 S 路径的随机模拟：53 从随机模拟的路径变化可以看出，汇率市场在中期出现了两次明显跳跃，同时在跳跃之后继续出现惯性下跌，不过这一
12、过程逐步止跌回稳，并出现报复性回调，基本路径符合文章关于汇率最终回归的假设。这一结果也表明尽管跳跃过程会导致汇率贬值，但从长期看仍然会是一个回归趋势的结果，这也是跳跃扩散模型的基本特点。五、结论以上分析说明，跳跃扩散是大量金融资产的明显特征，同一债券以不同币种发行所产生的信用风险和违约，特别是主权债券违约对汇率形成的影响，可以通过构造一个组合，利用跳跃扩散模型复制策略，实现资产定价以及风险的对冲，这一分析过程有以下几点启示：第一，当所发行债券可以同时以国内货币和国外货币购买，单纯地利用远期外汇合约对冲风险不充分，违约出现远期外汇合约本身就产生了刚性对付风险，债券价格的定价必须同时考虑违约和不违
13、约两种情况。同一债券以不同币种发行时所产生的信用风险和违约，特别是主权债券违约，对汇率形成影响，由此，以远期汇率为对冲工具的组合无效，同时考虑违约及不违约情况的期望汇率定价是一个选择。第二，随机模拟表明，突然发生的价格变动次数可能要远高于收益率服从一个拥有合理波动率的正态分布是所发生的次数，从时间刻度的角度，这类变动是一系列非连续的变动，由于这些变动，尽管资产组合线性关系，但产品价格定价和对冲会变得比较困难。第三，在金融实践中，如何处理资产价格发生跳跃产生的问题，对于衍生品的理论和实际操作都非常重要，但单纯利用跳跃扩散模型实现完美对冲和参数准确估计非常困难，可能会有更多主观因数存在，参数估计会
14、十分困难。这些因素的存在会导致分析结果不尽人意，不过利用相对简单的蒙特卡罗随机模拟有时会事半功倍。参考文献：1 Amengual D.,Xiu D.Resolution of policy uncertainty and sudden declines in volatility J.Journal of econometrics,2018,203(2):297-315.2 Bandi F M,Reno R.Price and volatility co-jumps J.Journal of financial economics,2016,119(1):107-146.3 Cain,Kou
15、S.Pricing Asian option under a hyper-exponential jump diffusion model J.Operation research,2012,60(1):64-77.4 Da.Fonseca J.Jgnatieva K.Jump activity analysis for affine jump-diffusion models:Evidence from the commodity market J.Journal of banking&finance,2019(99):45-62.5 Duan J C,Yeh C Y.Jump and vo
16、latility risk premiums implied by VIX J.Journal of economics and control,2010,34(11):2232-2244.6 Eraker B,Johannes M,Polson N.The impact of jumps in volatility and returns J.The Journal of finance,2003,58(3):1269-1300.7 Khagleeva I.Understanding jumps in the high-frequency VIX D.University of Illinois at Chicago,2014.8 Lih,Wells M T,Yu C I.A Bayesian analysis of return dynamics with Levy jumps J.Review of financial studies,2008,21(5):2345-2378.9 Black F,Scholes M.The pricing of options and corpo