1、第 41 卷 第 1 期2023 年 1 月 广西师范大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition)Vol.41 No.1Jan.2023DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2022022705http:钟晓芸.分数阶 Newton-Leipnik 系统的 Mittag-Leffler 投影同步J.广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(1):113-121.ZHONG XY.Mittag-Leffler projective synchronization of
2、fractional order Newton-Leipnik systemsJ.Journal of Guangxi Normal University(Natural ScienceEdition),2023,41(1):113-121.?分数阶 Newton-Leipnik 系统的 Mittag-Leffler 投影同步钟晓芸(广西师范大学 电子工程学院,广西 桂林 541004)摘 要:研究分数阶 Newton-Leipnik 系统的 Mittag-Leffler 投影同步。采用输入控制,通过构建适当的 Lyapunov 函数,利用非线性状态反馈和自适应控制方法,在参数已知和未知时,分
3、别设计了非线性控制器,在 6 s 内有效实现 Newton-Leipnik 混沌系统 Mittag-Leffler 投影同步,并利用 Matlab 仿真验证了理论结果的有效性。关键词:分数阶 Newton-Leipnik 系统;Mittag-Leffler 投影同步;Laplace 变换;非线性控制中图分类号:O231.2;O415.5 文献标志码:A 文章编号:1001-6600(2023)01-0113-09自从 Pecora 和 Carroll 1990 年首次提出“混沌同步”的概念,并通过电路实验成功实现 2 个耦合混沌系统的同步以来1,人们利用不同的方法实现多种类型的混沌同步,包括完
4、全同步、反同步、混合投影同步等2-12。Leipnik 和 Newton13在 1981 年基于欧拉刚体系统构建了一个含有信息反馈控制器的非线性系统。20 年后,Chen 等14基于稳定流形方法首次研究 Newton-Leipnik 系统的混沌控制和同步问题。之后,Richter15基于 Lyapunov 稳定性理论研究了受控 Newton-Leipnik 系统的反馈控制方法16。Sheu 等17通过数值仿真研究 Newton-Leipnik 丰富的动力学行为,但只给出了数值结果。Jia18基于主动控制策略成功实现 Newton-Leipnik 系统的混沌控制。另外,在自适应控制方法中,往往需
5、要预设系统的参数值,但是在实际应用中,系统的参数往往是未知的。将反馈控制方法与自适应控制技巧两者结合起来,往往可以弥补这个不足,使目标系统能够实现所期望的混沌同步。文献19针对整阶 Newton-Leipnik 系统获得了 2 个有趣的同步控制结果,给出了系统实现混沌同步的参数条件,但未进行数值仿真对同步时间作出估计。文献20进一步研究 Newton-Leipnik 系统的双重混沌吸引子,研究结果表明,系统具有逆向 Hopf 分岔过程。最近,文献21利用 Laplace 变换研究分数阶 Newton-Leipnik 系统不稳定性的主动控制及耦合同步,结果显示,其同步误差在 12 s 内趋于零,
6、系统实现混沌同步,但未研究参数未知时的系统同步问题。本文基于Laplace 变换方法,进一步研究分数阶 Newton-Leipnik 系统的 Mittag-Leffler 投影同步问题。利用非线性状态反馈和自适应控制方法,在参数已知和未知时,分别设计非线性控制器,有效实现 Newton-Leipnik 混沌系统的 Mittag-Leffler 投影同步。1 问题描述整阶 Newton-Leipnik 系统可以通过微分方程组表示如下13:?x=-ax+y+10yz,?y=-x-0.4y+5xz,?z=bz-5xy。|(1)式中 a、b 是系统的参数。与式(1)相应的分数阶系统是20:收稿日期:2
7、022-02-27 修回日期:2022-04-20基金项目:国家自然科学基金(12162005);广西科技计划项目(2020AC19037)通信作者:钟晓芸(1991),女,湖南邵阳人,广西师范大学讲师,博士。E-mail:广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(1)Dq0,tx=-ax+y+10yz,Dq0,ty=-x-0.4y+5xz,Dq0,tz=bz-5xy。|(2)式中分数阶算子限制在最通常的 Caputo 导子,即 Dq0,tx(t)=CDq0,tx(t),q(0,1)。这里,q 阶 Caputo 分数阶导子的意义为CDq0,tx(t)=1(1-q)t0 x()(t-)-q
8、d,其中 ()是通常的 Gamma 函数。图 1 显示了 Newton-Leipnik 系统当分数阶 q=0.95 或者 0.935,初始条件 x(0)=1,y(0)=1,z(0)=0.47 时的图像。它从一个侧面说明 q 对系统的动力学行为具有重要的影响。0.40.200.20.40.500.51.01.00.500.51.01.5zxy0501001501.00.500.51.01.5t/sx,y,zxyz(a)q=0.95?(b)q=0.935图 1 系统(2)的吸引子演化图Fig.1 Evolution of attractors for system(2)本文的目标之一是研究 2 个
9、相同系统的 Mittag-Leffler 投影同步,其中,驱动系统是分数阶的 Newton-Leipnik 系统(2),而相应的响应系统可以描述如下:Dq0,tu=-au+v+10vw+u1(t),Dq0,tv=-u-0.4v+5uw+u2(t),Dq0,tw=bw-5uv+u3(t)。|(3)式中 ui(t),i=1,2,3 是控制函数。本文将基于 Mittag-Leffler 稳定性理论给出他们的具体设计,目标是通过设计适当的 ui(t),i=1,2,3 获得 2 个相同系统的 Mittag-Leffler 投影同步。系统(2)和(3)之间的同步误差状态变量可以描述为e(t)=e1(t),
10、e2(t),e3(t)=u-1x,v-2y,w-3z。式中 1、2、3是投影参数。通过计算 Caputo 导数,利用 Caputo 导数的线性性质,容易导出下面的误差系统:Dq0,te1=-ae1+e2+10we2+101ye3+101(1-1)yz+u1(t),Dq0,te2=-e1-0.4e2+5ue3+52ze1+52(2-1)xz+u2(t),Dq0,te3=be3-53ye1-5ue2-53(3-1)xy+u3(t)。|(4)误差系统(4)的误差状态变量在很小的时间之后就会在 Mittag-Leffler 投影同步的意义上收敛到零,这意味着误差系统将被全局 Mittag-Leffle
11、r 镇定,而与初始条件在集合 D3R3中的取值无关。本文的另一个目标是研究 2 个不同系统的 Mittag-Leffler 投影同步,其中,驱动系统仍然是 Newton-Leipnik 系统(2),而相应的受控响应系统可以描述如下:Dq0,tu=-as(t)u+v+10vw+U1(t),Dq0,tv=-u-0.4v+5uw+U2(t),Dq0,tw=bs(t)w-5uv+U3(t)。|(5)411http:其中,系统(5)中的参数 as(t)、bs(t)不同于系统(3)中的参数 a、b,而控制函数 Ui(t),i=1,2,3 将被适当设计从而使得不同的系统(2)与(5)之间实现 Mittag-
12、Leffler 投影同步。系统(2)与(5)之间的系统参数误差变量定义为ep(t)=ea(t),eb(t)=as(t)-a,bs(t)-b。据此可以推导出系统(2)与(5)之间的误差系统具有下面的形式:Dq0,te1=-eau-ae1+e2+10we2+101ve3+101(1-1)yz+U1(t),Dq0,te2=-e1-0.4e2+5ue3+52we1+52(2-1)xz+U2(t),Dq0,te3=ebw+be3-53ve1-5ue2-53(3-1)xy+U3(t)。|(6)目标是通过设计适当的 Ui(t),i=1,2,3 和系统参数更新律,获得在 2 个不同的系统(2)与(5)之间的M
13、ittag-Leffler 同步的同时,参数系统(16)也将被全局 Mittag-Leffler 镇定,而与初始条件在集合 D5R5中的取值无关。2 主要结果及证明在构建输入反馈控制之前给出 Mittag-Leffler 投影同步的定义及主要结果的导出需要用到的 3 个引理。定义 1 称系统(2)与(5)是 Mittag-Leffler 投影同步的,如果系统(6)关于初始条件在集合 D5R5中的任何取值及 t0 满足如下估计式ET(t)E(t)(E(0)Eq(-tq),式中:E(t)=e(t),ep(t)T;和 是正常数;局部 Lipschitz 函数(x)满足:(0)=0,(x)0。这时,也
14、称系统(6)的零解是 Mittag-Leffler 稳定的,系统(2)与(5)称为 Mittag-Leffler 投影同步。显然,Mittag-Leffler 投影同步是指数同步的一种推广,这是因为 q=1 蕴含 Eq(-tq)=E1,1(-tq)=exp(-t),其中,Eq()是单参数 Mittag-Leffler 函数。引理 1 设正定二次多项式 V(E(t)V(t)满足:1ET(t)E(t)V(t)2ET(t)E(t),Dq0,tV(t)-3ET(t)E(t),其中,1、2、3是正常数,12,那么,系统(6)的零解是 Mittag-Leffler 稳定的,从而系统(2)与(5)Mitta
15、g-Leffler 投影同步。证明 考虑二次多项式 V(t)=ET(t)PE(t),其中,PT=PR55是一个对称正定矩阵。显然,为使V(t)满足引理 1 的条件,只需 1=min(P)0,2=max(P)0。这里,min(P)和 max(P)分别表示矩阵 P的最大及最小特征值。容易看到,V(t)满足如下分数阶不等式:Dq0,tV(t)-32V(t)=-V(t),=320。这意味着,存在函数(t)0 满足Dq0,tV(t)=-V(t)-(t)。由 Laplace 变换公式LDq0,tV(t)=sqLV(t)-s-1sqV(0)容易推出sqV(s)-s-1sqV(0)=-V(s)-(s),式中:
16、V(s)=LV(t);(s)=L(t),或者,等价地,V(s)=sqs(sq+)V(0)-1sq+(s)。(7)再对式(7)两边施行 Laplace 逆变换,得V(t)=V(0)L-1sqs(sq+)-L-11sq+(t),511广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(1)其中“”表示卷积运算。注意到(t)0 及 L-11sq+0,t0,而 L-11sq+(t)非负,故得如下估计结果V(t)V(0)L-1sqs(sq+)=V(0)Eq(-tq)。因此,ET(t)E(t)V(t)1V(0)1Eq(-tq),即ET(t)E(t)21ET(0)E(0)Eq(-tq)。根据定义 1,系统(6)的零解是 Mittag-Leffler 稳定的,从而系统(2)与(5)Mittag-Leffler 投影同步。证毕。注 1 虽然定义 1 及引理 1 是基于 2 个不同 Newton-Leipnik 系统(2)与(5)之间的 Mittag-Leffler 投影同步提出来的,他们同样适用于 2 个相同 Newton-Leipnik 系统(2)与(3),这只需要用 e(t)代替 E(t),并假设 PT