1、第一节 不等关系与不等式 三年三年1313考考 高考指数高考指数:1.1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.2.了解不等式了解不等式(组组)的实际背景的实际背景.1.1.不等式的性质是考查的重点不等式的性质是考查的重点;2.2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查；进行综合考查；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇那么以解答题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇那么以解答题为主题为主.1.1.两实数比较大小的法那么两实数比较大小的法那么 关系关系 法那么法
2、那么 a ab b a=b a=b a ab b a a-b b0 0 a a-b=0 b=0 a a-b b0 0 【即时应用】【即时应用】以下不等式中正确的选项是以下不等式中正确的选项是 .m-3m-5 5-m3-m 5m3m 5+m5-m【解析】【解析】m-3-m+5=20，故正确；，故正确；5-m-3+m=20，故正确；，故正确；5m-3m=2m，无法判断其符号，故错；，无法判断其符号，故错；5+m-5+m=2m,无法判断其符号，故错无法判断其符号，故错.答案：答案：2.2.不等式的根本性质不等式的根本性质 性质性质 具体名称具体名称 性质内容性质内容 特别提醒特别提醒 1 1 2 2
3、 3 3 4 4 对称性对称性 传递性传递性 可加性可加性 可乘性可乘性 abab ab,bcab,bc abab _ _ _ _ abc0abc0 注意注意c c 的符号的符号 babc ac a+cb+c a+cb+c acbc acbc acbc acbab0 0 abab0 0 abcdab0cd0a,ba,b同同 为正数为正数 a+cb+d a+cb+d _ _ acbd acbd a an nbbn n _ _ nnab (nN,n2)(nN,n2)(nN,n2)(nN,n2)【即时应用】【即时应用】(1)a(1)a、b b、c c、dR,dR,且且c cd,d,那么那么“a+c“
4、a+cb+db+d是是“a“ab b的的 条件条件.(2)(2)假设假设a a0,0,-1 1b b0 0，那么，那么a,ab,ab2a,ab,ab2的大小关系为的大小关系为 .(3)a,b,cR(3)a,b,cR，有以下命题：，有以下命题：假设假设ab,ab,那么那么ac2bc2;ac2bc2;假设假设ac2bc2,ac2bc2,那么那么ab;ab;假设假设ab,ab,那么那么a2cb2c.a2cb2c.以上命题中正确的选项是以上命题中正确的选项是_请把正确命题的序号都填上请把正确命题的序号都填上.【解析】【解析】(1)(1)假设假设a+ca+cb+d,cb+d,cd d 不妨令不妨令a=1
5、,b=2,c=5,d=3a=1,b=2,c=5,d=3，那么上式成立，那么上式成立，但但a ab b，故充分条件不具备，反之，假设，故充分条件不具备，反之，假设a ab,cb,cd,d,那么那么a a-b b0,c0,c-d d0 0，两式相加得，两式相加得 a a-b+cb+c-d d0 0，即，即a+ca+cb+db+d，故必要条件具备，故应为必要不充分条件故必要条件具备，故应为必要不充分条件.2 2由得由得0 0b2b21,a1,a0,0,故故abab0,ab20,ab20 0且且a aab2ab2，故故a aab2ab2ab.ab.(3)(3)当当c=0c=0时，不正确；假设时，不正确
6、；假设ac2bc2ac2bc2，那么，那么c20,c20,abab，故正确；由，故正确；由2c02c0知正确知正确.答案：答案：1 1必要不充分必要不充分 2 2a aab2ab2abab (3)(3)3.3.不等式的一些常用性质不等式的一些常用性质 (1)(1)倒数性质倒数性质 a ab,abb,ab0 0 a a0 0b b a ab b0,00,0c cd d 0 0a ax xb b或或a ax xb b0 0 11.ab11.abab.cd111.bxa(2)(2)有关分数的性质有关分数的性质 假设假设a ab b0,m0,m0,0,那么那么 真分数的性质：真分数的性质：假分数的性质
7、：假分数的性质：b b+m b b-m;(b-m 0).a a+m a a-ma a+m a a-m;(b-m 0).b b+m b b-m【即时应用】【即时应用】(1)(1)与与 的大小为的大小为 .(2)(2)假设假设0 0a ab b，c c0 0，那么，那么 与与 的大小关系为的大小关系为 .10-311-10b+ca+ca+cb+c【解析】【解析】(1)(1)故故 (2)0(2)0a ab,b,又又c c0,0,故故 故故 答案：答案：(1)(1)(2)(2)110-3=,10+311 1-1 0=1 1+1 00 1 0+3 10,abb+ca+c1,.a+cb+c1 0-3 1
8、1-1 0b+ca+ca+cb+c 用不等式组表示不等关系用不等式组表示不等关系 【方法点睛】【方法点睛】实际应用中不等关系与数学语言间的关系实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式组时，应注意将实际问题中的不等关系写成相应的不等式组时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如下表其转换关系如下表.【例例1 1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在
9、在A A，B B两种设备上加工，在每台两种设备上加工，在每台A A，B B设备上加工一件甲产品所设备上加工一件甲产品所需工时分别为需工时分别为1 1小时、小时、2 2小时，加工一件乙产品所需工时分别为小时，加工一件乙产品所需工时分别为2 2小时、小时、1 1小时，小时，A A，B B两种设备每月有效使用台时数分别为两种设备每月有效使用台时数分别为400400和和500.500.写出满足上述所有不等关系的不等式写出满足上述所有不等关系的不等式.【解题指南解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组
10、成不两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可等式组即可.【标准解答】设甲、乙两种产品的产量分别为【标准解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,x,y,那么那么 由题意可知由题意可知 x+2 y4 0 02 x+y5 0 0.x0,xNy0,yN【反思【反思感悟】用不等式感悟】用不等式(组组)表示实际问题中的不等关系时，表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言除了把文字语言“翻译成符号语言，把握翻译成符号语言，把握“不超过、不超过、“不不低于、低于、“至少、至少、“至多等关键词外，还应考虑变量的实至多等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围际意义，即变量的
11、取值范围.比较大小比较大小【方法点睛】【方法点睛】比较大小的常用方法比较大小的常用方法 1作差法作差法 一般步骤是：作差；变形；定号；结论一般步骤是：作差；变形；定号；结论.其中关键是其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差再作差.(2)(2)作商法作商法 一般步骤是：作商；变形；判断商与一般步骤是：作商；变形；判断商与1 1的大小；结论的大小；结论.(3)(3)特值法特值法 假设是选择题、填空题可以用特值
12、法比较大小；假设是解答题假设是选择题、填空题可以用特值法比较大小；假设是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.提示：用作商法时要注意商式中分母的正负，否那么极易得出提示：用作商法时要注意商式中分母的正负，否那么极易得出相反的结论，从而误解相反的结论，从而误解.【例【例2 2】1 1(2022(2022昌平模拟假设昌平模拟假设a a、b b是任意实数，且是任意实数，且a ab b，那么以下不等式成立的是，那么以下不等式成立的是()()A Aa2+1a2+1b2+1 b2+1 B B 1 1 C Clg(alg(a-b)b)0 0
13、D D (2)a1,a2(0,1)(2)a1,a2(0,1)，记，记M=a1a2,N=a1+a2M=a1a2,N=a1+a2-1 1，那么，那么M M与与N N的大小关系的大小关系是是()()A AM MN N B BM MN N C CM=N M=N D D不确定不确定 3 3a ab b0 0，比较，比较aabbaabb与与abbaabba的大小的大小.baab11()1,babbaa b1,ab【反思【反思感悟】感悟】1.1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与比较法的目的是判断商与1 1的大小的大小.两种方法的关键是变形两种
14、方法的关键是变形.2.2.当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法.【变式备选】比较以下各组中两个代数式的大小【变式备选】比较以下各组中两个代数式的大小.(1)3m2(1)3m2-m+1m+1与与2m2+m2m2+m-3;3;(2)(x2+y2)(x(2)(x2+y2)(x-y)y)与与(x2(x2-y2)(x+y)(xy0);y2)(x+y)(xy0);(3)a(3)a0,b0,b0 0比较比较 与与a+ba+b的大小的大小.22ab+
15、ba【解析】【解析】(1)(1)3m23m2-m+1m+1-(2m2+m(2m2+m-3)3)=m2=m2-2m+4=(m2m+4=(m-1)2+31)2+30,0,3m23m2-m+1m+12m2+m2m2+m-3.3.(2)(x2+y2)(x(2)(x2+y2)(x-y)y)-(x2(x2-y2)(x+y)y2)(x+y)=(x=(x-y)y)(x2+y2)(x2+y2)-(x+y)2(x+y)2 =-2xy(x2xy(x-y).y).xy0,xy0,-2xy(x2xy(x-y)0,y)0,(x2+y2)(x(x2+y2)(x-y)(x2y)0ba0b且且a+b0a+b0，那么以下不等式正
16、确，那么以下不等式正确的个数是的个数是()()a2b2;a2b2;a3ab2;a3ab2;a2bb3.a2b0,b|b|,a0,b|b|,a2b2a2b2成立，成立，成立，成立，a3a3-ab2=a(a2ab2=a(a2-b2)0,b2)0,不成立，不成立，a2ba2b-b3=b(a2b3=b(a2-b2)0,b2)ab11;ab2.(20222.(2022金华模拟金华模拟x x0,y0,y0,xy0,xy，那么下面四个数中最小，那么下面四个数中最小的是的是()()2211 11(A)(B)(+)x+y4 xy11(C)(D)2(x+y)2 xy【解析】选【解析】选C.C.特值验证法，令特值验证法，令x=1,y=2,x=1,y=2,可知可知 而而 故故 最小最小.应选应选C.C.11 1 1 13 1=,(+)=,8x+y 3 4 x y83221111=,=,2(x+y)1 02x y 2281 0 3 2 2,3 11 03.(20223.(2022嘉兴模拟嘉兴模拟a,ba,b为实数，那么为实数，那么“a“ab b1 1是是 “的的()()A A充分不必要条件充分不必要条件 B B