1、第 47 卷 第 1 期燕山大学学报Vol.47 No.12023 年 1 月Journal of Yanshan UniversityJan 2023文章编号:1007-791X(2023)01-0089-06周期为 2p 的低相关四进制序列的构造方法李恒智1，赵伟2，3，王东2，贾彦国2，*，沈秀敏2(1 河北对外经贸职业学院，河北 秦皇岛 066311;2 燕山大学 信息科学与工程学院，河北 秦皇岛 066004;3 燕山大学 里仁学院，河北 秦皇岛 066004)收稿日期:2021-01-29责任编辑:王建青基金项目:河北省自然科学基金资助项目(F2018203057);河北省教育厅高
2、等学校科技计划青年基金项目(QN2021144);秦皇岛市科学与技术研究与发展计划项目(202004A010)作者简介:李恒智(1981-)，男，河北秦皇岛人，硕士，主要研究方向为计算机应用;*通信作者:贾彦国(1971-)，男，河北滦州人，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为信道编码理论、扩频序列设计，Email:jyg ysueducn。摘要:具有理想自相关性、平衡性和易于实现特性的四进制序列，广泛应用于通信等领域中。虽然已被发现的平衡理想自相关四进制序列有很多，但低相关四进制序列还有很大的研究空间。本文基于广义四阶分圆类和中国剩余定理对周期为 2p(p=4f+1 奇素数)的低相关四进制
3、序列进行研究，当四进制序列的第 0 位和第 p 位元素值分别同时为 1 和 i 时，得到了旁瓣值为 2，2，6、2，2，4，4 的平衡低相关四进制序列，当第 0 位和第 p 位元素值分别同时为1 和i 时，得到了旁瓣值同为 2，2i，2i，2+2i，22i 的平衡低相关四进制序列。关键词:低相关四进制序列;广义分圆类;中国剩余定理;平衡中图分类号:TN9112文献标识码:ADOI:103969/jissn1007-791X2023010100引言四进制序列作为一种特殊的高斯整数序列，在雷达、导航、码分多址等众多通信系统中应用广泛，在理论和应用中有着非常重要的意义。若 s=(s0，s1，sN1)
4、，st 1，i，1，i 是周期为 N 的四进制序列，则其循环自相关函数值 s()为s()=N1i=0st(st+)*=s(0)=0 0，(1)其中，虚数 i=1，*表示共轭运算，t+要进行模 N 运算。若旁瓣值=0，则序列 s 是最佳四进制序列 1。但是迄今为止，学者们仅找到周期 N=2，4，8，16 的最佳四进制序列，并且已经证明不存在长度 N16 的最佳四进制序列 2 以及不存在平衡的最佳四进制序列 3。若四进制序列为奇周期时，Schotten 等 4-5 构造出周期为 N=(pm+1)/2(p 是奇素数)的具有理想自相关函数最大副峰模值 max=1 的四进制序列。Lke 等 2 基于改进
5、的 Legendre 序列，也构造出了 max=1 的理想四进制序列。Green 等 6 基于指数序列、Yang 等 7-8 利用二进制序列和逆 Gray映射的方法，都构造出了旁瓣值最大模值为5 的四进制序列。Michel 等 9 利用八阶分圆类，又构造出周期为 p1(mod 16)且旁瓣值最大模值为 3 的平衡或几乎平衡的低相关四进制序列。若四进制序列为偶周期时，Tang 等 3 证明了周期为 N0(mod 2)且旁瓣值最大模值至少为 2的平衡四进制序列。Kim 等 10-12、Zeng 等 13 也都利用逆 Gray 映射和特定的二进制序列，构造出了平衡或几乎平衡的具有良好自相关性的四进制
6、序列。另外，Edemskiy 等 14 基于四阶分圆类，构造出了 max8，4 且具有较高线性复杂度和平衡特性的四进制序列。沈秀敏等 15-16 基于广义四阶分圆类、Su 等 17 基于交织法，都构造出了 max=2 的平衡理想自相关四进制序列，但是文献 15中序列的第 0 位和第 p 位元素值分别固定为 1 和1。因此，本文结合广义四阶分圆类和中国剩余90燕山大学学报2023定理对偶周期为 2p(奇素数 p=4f+1)的四进制序列进行研究，当序列的第 0 位和第 p 位元素值分别同时为 1 和 i 时，得到了旁瓣值分别为 2，2，6 和 2，2，4，4 的平衡低相关四进制序列，当序列的第 0
7、 位和第 p 位元素值分别同时为1 和i时，得到了旁瓣值同为 2，2i，2i，2+2i，22i的平衡低相关四进制序列，扩大了四进制序列的空间范围。1相关概念符号说明及相关意义:p:表示 p=4f+1=4x2+y2是奇素数，f、x、y 均为正整数。GF(p):表示 p 阶有限域 15。:表示 GF(p)上的本原元。Zp:表示模 p 的整数剩余类环，由于 p 是奇素数，那么，Zp也是一个有限域，又称素域 15。Hh:表示 Zp上的四阶分圆类 15，h=0，1，2，3。(j，l)p:表示 Zp上的四阶分圆数 15，其中，j，l 0，1，2，3。H4=0，Zp中的 0 单独作为一个类。Z2p，0，1:
8、根据中国剩余定理 16 可知，Z2pZ2Zp存在映射关系:f()=(0，1)，其中，Z2p，0=mod 2，1=mod p。那么有 Z2p=f1(Z2Zp)，f1(0，1)，(0，1)Z2Zp。F0，h，F1，h:表示 Z2p上的广义四阶分圆类 15，F0，h=f1(0 Hh)，F1，h=f1(1 Hh)。特别地，有 H4=0，F0，4=f1(0 H4)=f1(0，0)=0，F1，4=f1(1 H4)=f1(1，0)=p。“f1”代表集合中的元素进行中国剩余定理运算。Ck:表示 Ck=F0，jkF1，lk 16，k=0，1，2，3，其中jk，lk 0，1，2，3，当 kr 时，jkjr，lkl
9、r，即 j0，j1，j2，j3的取值互不相等，l0，l1，l2，l3的取值互不相等。d(Ck，Cr):表示差函数 16 d(Ck，Cr)=|Ck(Cr+)|，其中，r=0，1，2，3，Ck，Cr是 Z2p上的子集，Cr+代表集合 c+cCr，“+”代表和模 2p 运算。s:表示长度为 2p 且具有平衡特性的四进制序列 s=(s0，s1，s2p1)。st=s0t mod 2p 0spt mod 2p pikt mod 2pCk，其中，虚数 i=1，s0=sp 1，i，1，i，并且，C0C1C2C3=Z2p 0，p，|C0|=|C1|=|C2|=|C3|=p12。(j0，j1，j2，j3)，(l0
10、，l1，l2，l3):因 Ck=F0，jkF1，lk，k=0，1，2，3，所以为了方便，用 jk、lk的组合形式(j0，j1，j2，j3)，(l0，l1，l2，l3)来表示 Ck所对应的四进制序列。引理 1 14 令 Ck=f1(0 Hjk 1 Hlk)，Cr=f1(0 Hjr 1 Hlr)，其中，Hjk、Hlk、Hjr、Hlr是 Zp的子集，那么d(Ck，Cr)=|HjkHjr|+|HlkHlr|0=0，1=0|Hjk(Hjr+1)|+|Hlk(Hlr+1)|0=0，10|Hjk(Hlr+1)|+|Hlk(Hjr+1)|0=1，10|HjkHlr|+|HlkHjr|0=1，1=0。引理 2
11、14 令 uHh，h=0，1，2，3。1)|Hj(Hl+u)|=(hl，jl)。2)|Hj u|=1h=j0hj。3)|0(Hj+u)|=1当 h=j 且 p=1(mod 8)或 h(j+2)(mod 4)且 p5(mod 8)0其他。引理 3 16 令 Ck=f1(0 Hjk 1 Hlk)，Hjk、Hlk、是 Zp的子集，那么1)|0(Ck+)|=|0(Hjk+1)|0=0|0(Hlk+1)|0=1。2)|Ck(0+)|=|Hjk 1|0=0|Hlk 1|0=1。第 1 期李恒智 等周期为的低相关四进制序列的构造方法913)|p(Ck+)|=|0(Hlk+1)|0=0|0(Hjk+1)|0=
12、1。4)|Ck(p+)|=|Hlk 1|0=0|Hjk 1|0=1。2四进制序列的构造21低相关四进制序列的构造定理 1令 p=4f+1=4x2+y2，s0=sp 1，i，1，i。当满足表 1、表 2 中所示的参数集合时，则四进制序列 s 的自相关函数值的分布为s()=2p1 次2p 次2(p1)/2 次6(p1)/2 次。表 1当 x=1 且 y 为偶数时参数集合表Tab1Table of parameter sets if x=1 and y is even(j0，j1，j2，j3)，(l0，l1，l2，l3)(0，1，2，3)，(0，3，2，1)(1，0，3，2)，(1，2，3，0)(2
13、，1，0，3)，(2，3，0，1)(3，0，1，2)，(3，2，1，0)表 2当 x=1 且 y 为奇数或 y=1 且 x 为奇数时参数集合表Tab2Table of parameter sets if x=1 andy is odd or y=1 and x is odd(j0，j1，j2，j3)，(l0，l1，l2，l3)(0，1，3，2)，(0，2，3，1)(1，2，0，3)，(1，3，0，2)(2，0，1，3)，(2，3，1，0)(3，0，2，1)，(3，2，1，0)证明由文献 15 和式(1)可知序列的自相关函数值的实部 e s()和虚部 Im s()为e s()=d(C0 0 p，
14、C0 0 p)+d(C1，C1)+d(C2，C2)+d(C3，C3)d(C0 0 p，C2)d(C2，C0 0 p)d(C1，C3)d(C3，C1)=|C0(C0+)|+|C1(C1+)|+|C2(C2+)|+|C3(C3+)|C0(C2+)|C1(C3+)|C2(C0+)|C3(C1+)|+()，(2)Im s()=d(C1，C0 0 p)+d(C3，C2)+d(C2，C1)+d(C0 0 p，C3)d(C1，C2)d(C2，C3)d(C3，C0 0 p)d(C0 0 p，C1)=|C1(C0+)|+|C3(C2+)|+|C2(C1+)|+|C0(C3+)|C1(C2+)|C2(C3+)|C
15、3(C0+)|C0(C1+)|+I()。(3)当 s0=sp=1，x=1，y 为偶数时，首先考虑以(j0，j1，j2，j3)，(l0，l1，l2，l3)=(0，1，2，3)，(0，3，2，1)为例。显然，当=0 时，s()=N=2p。对于 0，1Hh，h=0，1，2，3 时，有如下三种情况:1)令 0=0，0。由式(2)、(3)和引理 13，可得 Im s()=I()=0，e s()=23k=0(|Hk(Hk+1)|)(|Hk(Hk+2+1)|)+()=23k=0(h k，0)(h k，2)+()，(4)()=4h=04h=20h=1，3。(5)根据文献 15 中表 3-1、表 3-2 可知，
16、f 为偶数时，四阶分圆数中的 5 个基本分圆数为(0，0)p=(p116x)/16(0，1)p=(p3+2x+8y)/16(0，2)p=(p3+2x)/16(0，3)p=(p3+2x8y)/16(1，2)p=(p+12x)/16，(6)由式(4)、(5)和(6)计算可得当 h=0 时，e s()=2(0，0)p+2(0，1)p+2(0，3)p2(0，2)p4(1，2)p+4=2。当 h=1，3 时，e s()=2(0，0)p+2(0，1)p+2(0，3)p2(0，2)p4(1，2)p=2。当 h=2 时，e s()=2(0，0)p+2(0，1)p+2(92燕山大学学报20230，3)p2(0，2)p4(1，2)p4=6。所以，当 0=1，10 时，s()=2h=02h=1，36h=2。2)令 0=1，10。由式(2)、(3)和引理13，可得 Im s()=I()=0，e s()=2k=0，2(h k，0)(h k，2)+2k=1，3(h k，2)(h k，0)+()，(7)()=4h=04h=20h=1，3，(8)x=1 时，由式(7)、(8)计算可得当 h=0 时，e s()=2(0