1、第一节 不等式和绝对值不等式 三年三年1616考考 高考指数高考指数:1.1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：证明以下不等式：|a+b|a|+|b|;|a+b|a|+|b|;|a|a-b|ab|a-c|+|cc|+|c-b|.b|.2.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|xa|+|x-b|c.b|c.3.3.会用绝对值不等式、根本不等式证明一些简单问题；能够利用会用绝
2、对值不等式、根本不等式证明一些简单问题；能够利用根本不等式求一些特定函数的最根本不等式求一些特定函数的最极极值值.1.1.利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函数的最值是考查的重点数的最值是考查的重点.2.2.利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式或证明不等式是考查的重点，也是难点或证明不等式是考查的重点，也是难点.3.3.常以填空题或解答题的形式出现，属低、中档题常以填空题或解答题的形式出现，属低、中档题.1.1.不等式的根本性质不等式的根本性质 对称性
3、对称性 传递性传递性 可加性可加性 可乘性可乘性 可乘方性可乘方性 可开方性可开方性 abab babb,bcab,bc acac abab a+cb+ca+cb+c ab,cab,c0 0 acbcacbc ab,cb,c0 0 acbcacbab0 0 a an nbbn n(nN,n(nN,n2 2)abab0 0 (nN,n(nN,n2 2)nnab【即时应用即时应用】(1)(1)思考：假设思考：假设a ab b，一定有，一定有 吗？吗？提示提示:不一定不一定.如：如：a=a=-1,b=21,b=2时，有时，有a ab,b,但但 事实上，当事实上，当abab0 0时，假设时，假设a a
4、b b，那么有，那么有 当当abab0 0时，假设时，假设a ab b，那么有，那么有 当当ab=0ab=0时，假设时，假设a ab b，那么，那么 中有一个无意义中有一个无意义.11ab11.ab11;ab11;ab11ab和2 2假设假设anan是各项都为正的等比数列，且公比是各项都为正的等比数列，且公比q1,q1,那么那么a1+a4a1+a4与与a2+a3a2+a3的大小关系是的大小关系是_._.【解析】【解析】a1+a4a1+a4-(a2+a3)(a2+a3)=a1+a1q3=a1+a1q3-a1qa1q-a1q2=a1(1+q)(1a1q2=a1(1+q)(1-q)2,q)2,an0
5、,q0,an0,q0,又又q1,q1,a1(1+q)(1a1(1+q)(1-q)20,q)20,即即a1+a4a2+a3.a1+a4a2+a3.答案：答案：a1+a4a2+a3a1+a4a2+a3 2.2.根本不等式根本不等式 (1)(1)定理定理1 1 如果如果a,bRa,bR，那么，那么a2+b2_2aba2+b2_2ab，当且仅当，当且仅当_ 时，等号成立时，等号成立.2 2算术平均与几何平均算术平均与几何平均 如果如果a,ba,b都是正数，我们就称都是正数，我们就称_为为a a，b b的算术平均，的算术平均，_ 为为a,ba,b的几何平均的几何平均.3 3定理定理2 2根本不等式根本不
6、等式 如果如果a,b0a,b0，那么，那么 _ 当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术也可以表述为：两个正数的算术 平均平均_它们的几何平均它们的几何平均.a=ba=b ab2a bab2a b,a=ba=b 不小于不小于即大于或等于即大于或等于 4 4利用根本不等式求最值利用根本不等式求最值 对两个正实数对两个正实数x x、y y，如果它们的和如果它们的和S S是定值，那么当且仅当是定值，那么当且仅当_时，它们的积时，它们的积P P取得取得 最最_值值 ；如果它们的积如果它们的积P P是定值，那么当且仅当是定值，那么当且仅当_时，它们的和时，它们的和S S取
7、得取得 最最_值值_._.x=yx=y 大大 2S4x=yx=y 小小 2P【即时应用即时应用】(1)(1)思考：利用根本不等式思考：利用根本不等式 求最值的条件是什么？求最值的条件是什么？提示：利用根本不等式提示：利用根本不等式 求最值的条件是各项或各求最值的条件是各项或各因式均为正；和或积为定值；各项或各因式能取“等号因式均为正；和或积为定值；各项或各因式能取“等号，即一正、二定、三相等即一正、二定、三相等.abab2abab22 2思考：函数思考：函数 的最小值是的最小值是2 2吗？吗？提示：函数提示：函数 的最小值不是的最小值不是2.2.当当x x0 0时，时，当当x x0 0时，时，
8、显然显然f fx x既没有最大值也没有最小值既没有最大值也没有最小值.1f(x)xx1f(x)xx11f(x)x2 x2;xx g 11f(x)x x 2.xx （）3.3.三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 1 1定理定理3 3 如果如果a,b,ca,b,c为正实数为正实数,那么那么 _ _ 当且当且 仅当仅当_时，等号成立时，等号成立.即：三个正数的算术平均即：三个正数的算术平均_它们的几何平均它们的几何平均.2 2根本不等式的推广根本不等式的推广 对于对于n n个正数个正数a1,a2,ana1,a2,an，它们的算术平均，它们的算术平均_它们的几何它们的几何 平均，
9、即平均，即 _ _ 当且仅当当且仅当_ 时，等号成立时，等号成立.abc33a b c,a=b=ca=b=c 不小于不小于 不小于不小于 12naaan n1 2naaa,a a1 1=a=a2 2=a=an n 【即时应用即时应用】1 1假设假设x0,x0,那么那么 的最小值为的最小值为_._.2 2假设假设x(x(-,1),1),那么函数那么函数 的最大值为的最大值为_._.21xx2x2x 2y2x 2【解析解析】(1)x0,(1)x0,当且仅当当且仅当 即即 时上式取等号，时上式取等号，即即 的最小值为的最小值为 (2)y=(2)y=当且仅当当且仅当 即即x=0 x=0时上式取等号，即
10、时上式取等号，即yy-1.1.答案：答案：(1)(2)(1)(2)-1 1 221 x x 1xx2 2 x 332x x 13322 2 x2g g2x1,2x3x221xx332.22(x1)1x112 x2 2 x2 2 2(x1)1 x121,2 21 xgx 11,22 x 133224.4.绝对值三角不等式绝对值三角不等式 1 1定理定理1 1：如果：如果a,ba,b是实数，那么是实数，那么|a+b|_,|a+b|_,当且仅当当且仅当 _时，等号成立时，等号成立.2 2定理定理2 2：如果：如果a,b,ca,b,c是实数，那么是实数，那么|a|a-c|ac|a-b|+|bb|+|b
11、-c|c|，当且仅当当且仅当_时，等号成立时，等号成立.|a|+|b|a|+|b|ab0ab0 (a(a-b)(bb)(b-c)0c)0 【即时应用即时应用】1 1思考：思考：|a+b|a+b|与与|a|a|-|b|,|a|b|,|a-b|b|与与|a|a|-|b|b|、|a|+|b|a|+|b|之间之间 有什么关系？有什么关系？提示：提示：|a+b|a|a+b|a|-|b|,|a|b|,|a|-|b|a|b|a-b|a|+|b|.b|a|+|b|.2 2|a|b|,|a|b|,那么那么m,nm,n之间的关系之间的关系 是是_._.【解析解析】|a|a|-|b|a|b|ab|a|+|b|,b|
12、a|+|b|,m1n,m1n,即即mn.mn.答案：答案：mnmn ababm,n,a ba bababm1,ababababn1,abab5.5.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 1含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集的解集 x|x|-a ax xaa x|xx|xa a或或x x-aa xR|x0 xR|x0 R R (2)|ax+b|c(c0)(2)|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法|ax+b|c|ax+b|c ;|ax+b|c|ax+b|c .-cax+bccax+bc ax+bcax+b
13、c或或ax+bax+b-c c 【即时应用即时应用】1 1思考：不等式思考：不等式|x|x-c|+|xc|+|x-b|ab|a的几何意义的几何意义 是什么？是什么？提示：不等式提示：不等式|x|x-c|+|xc|+|x-b|ab|a的几何意义是：数轴上满足到坐的几何意义是：数轴上满足到坐 标为标为c c的点的距离与到坐标为的点的距离与到坐标为b b的点的距离之和大于或等于的点的距离之和大于或等于a a的的 点的坐标的取值范围点的坐标的取值范围.2 2|2x|2x-1|31|3的解集是的解集是_._.【解析解析】|2x|2x-1|31|3-32x32x-1313-22x422x4-1x2.1x2
14、.即不等式即不等式|2x|2x-1|31|3的解集是的解集是x|x|-1x2.1x2.答案：答案：x|x|-1x21x0 x0，求函数，求函数 的最大值；的最大值；2 2假设假设x0,y0,x0,y0,且且9x+y9x+y-xy=0,xy=0,求求x+yx+y的最小值的最小值.【解题指南】对于【解题指南】对于1 1可根据题目条件，变形构造出可根据题目条件，变形构造出“和或和或“积为定值的形式，利用根本不等式求解；对于积为定值的形式，利用根本不等式求解；对于2 2应将条应将条件变形并建立与件变形并建立与x+yx+y的关系，然后再利用根本不等式求解的关系，然后再利用根本不等式求解.22 xx 3f
15、 xx【标准解答】【标准解答】1 1x0,f(x)=1x0,f(x)=1-2x2x-=当当2x=,2x=,即即 时等号成立时等号成立.f(x)f(x)的最大值为的最大值为 此时此时 2 2方法一：方法一：xx0,y0,y0,9x+y0,9x+y-xy=0 xy=0，9x+y=xy,9x+y=xy,即即 =6+10=16.=6+10=16.3x331(2 x)122 x126.xx g3x6x2126,6x.2191,xy19y9 xy 9 xxy(xy)()1 021 0 xyxyx y gg当且仅当当且仅当 时，时，“成立，又成立，又 即即x=4,y=12x=4,y=12时，上式取等号时，上
16、式取等号.故当故当x=4,y=12x=4,y=12时，时，x+yx+y取最小值取最小值16.16.方法二：由方法二：由9x+y9x+y-xy=0 xy=0，得，得(x(x-1)(y1)(y-9)=99)=9定值定值 可知可知x x1,y1,y9.9.x+y=(xx+y=(x-1)+(y1)+(y-9)+109)+10 =6+10=16.=6+10=16.当且仅当当且仅当x x-1=y1=y-9=3,9=3,即即x=4,y=12x=4,y=12时，时，“成立成立.故当故当x=4,y=12x=4,y=12时，时，x+yx+y取最小值取最小值16.16.y9 xxy191,xy 2 x1y9 1 0【反思反思感悟感悟】利用根本不等式求最值的一般步骤：利用根本不等式求最值的一般步骤：1 1变正，通过提取变正，通过提取“符号符号变为正值；变为正值；2 2凑定，利用拆项、添项等方法，凑出凑定，利用拆项、添项等方法，凑出“和和或或“积积为定为定值；值；3 3求最值，利用根本不等式求出最值；求最值，利用根本不等式求出最值；4 4验相等，验证等号能否成立；假设满足，可取最值，假设验相等，验证等号能否成立