1、点击进入相应模块第二节 一元二次不等式及其解法 三年三年1919考考 高考指数高考指数:1.1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；二次方程的关系；3.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图解的程序框图.1.1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象
2、与性质等知识；根的存在性及二次函数的图象与性质等知识；2.2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；3.3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；段，考查求参数的范围问题；4.4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等等.1.1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表表 判别式判别式4ac-b200=0=
3、0 0 0a0）的图象）的图象一元二次方程一元二次方程（a0a0）的根）的根（a0a0）的解集）的解集（a0a0）的解集）的解集或或有两相异实数根有两相异实数根（x x1 1 0(a0)+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表的求解过程用程序框图表示为示为 开始开始2axbxc0(0)a 4ac-b2=0?0?0cbxax2解为解为x x1 1=x=x2 20cbxax2解为解为x x1 1,x,x2 2,其中其中x x1 1xx2 20cbxax2无实数解无实数解不等式的解集为不等式的解集为1x xx21x xxxx或结束结束是是是是否否否否不等式的解集为不等式的解集为不等式的解集为不等式
4、的解集为R R【即时应用】【即时应用】思考：上述不等式中思考：上述不等式中a a0,0,假设假设a a0 0时解集的情况又将如何？时解集的情况又将如何？提示：假设提示：假设a a0,0,那么一般先将不等式进行转化，使那么一般先将不等式进行转化，使x2x2的系数的系数转化为正后再求解转化为正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，但一定要注意转化过程中不等号的变化，00时解集为时解集为,0 0时解集为时解集为x|x1x|x1x xx2.x2.一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 【方法点睛方法点睛】解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤 (1)(1)变形，使一端为变形，使
5、一端为0 0且二次项系数大于且二次项系数大于0 0；(2)(2)计算相应的判别式；计算相应的判别式；(3)(3)当当 00时，求出相应的一元二次方程的根；时，求出相应的一元二次方程的根；(4)(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.【提醒提醒】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论.【例【例1 1】解以下不等式：】解以下不等式：(1)x2+3x+4(1)x2+3x+40 0 (2)(2)-3x23x2-2x+802x+80 (3)12x2(3)12x2-axaxa2(aR)a2(aR)【解题指
6、南】【解题指南】(1)(1)先判断先判断“，而后获解，而后获解.(2)(2)先将先将x2x2的系数转化为正数的系数转化为正数,而后因式分解求解而后因式分解求解.(3)(3)将不等式转化后进行因式分解将不等式转化后进行因式分解,比较两根大小分类求解比较两根大小分类求解.【标准解答】【标准解答】(1)(1)由由=9=9-16=16=-7 70,0,故不等式的解集为故不等式的解集为.(2)(2)原不等式等价于原不等式等价于3x2+2x3x2+2x-8080(x+2)(3x(x+2)(3x-4)04)0 xx-2 2或或xx 故不等式的解集为故不等式的解集为(-,-2 +).2 +).(3)(3)原不
7、等式可化为原不等式可化为12x212x2-axax-a2a20 0(4x+a)(3x(4x+a)(3x-a)a)0,0,令令(4x+a)(3x(4x+a)(3x-a)=0a)=0得得 a a0 0时时,此时不等式等价于此时不等式等价于 a=0a=0时时,不等式等价于不等式等价于x2x20 0 x0.x0.a a0 0时时,此时不等式等价于此时不等式等价于 4,34,312aax,x.43aa,43aaxx.43或aa,43aaxx.34 或综上所述综上所述,当当a a0 0时时,不等式的解集为不等式的解集为 当当a=0a=0时时,不等式的解集为不等式的解集为(-,0)(0,+);,0)(0,+
8、);当当a a0 0时时,不等式的解集为不等式的解集为 aa(,)(,);43 aa(,),.34 （）【反思反思感悟感悟】1.1.对于本例对于本例(3)(3)中分类讨论后中分类讨论后,在写不等式解在写不等式解 集时集时,也可以将也可以将a=0a=0的情况与的情况与a a0 0或或a a0 0结合起来写结合起来写.如可写为如可写为 a0a0时不等式的解集为时不等式的解集为 a a0 0时不等式的解时不等式的解 集为集为 aa(,)(,),43 aa(,),.34 （）2.2.含参数的不等式解法：含参数的不等式解法：解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次，一般要
9、把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：按下面次序进行讨论：(1)(1)根据二次项系数的符号进行分类，根据二次项系数的符号进行分类，(2)(2)根据根是否存在，即根据根是否存在，即 的符号进行分类，的符号进行分类，(3)(3)在根存在时，在根存在时，根据根的大小进行分类讨论根据根的大小进行分类讨论.讨论时对字母的范围需要做到不讨论时对字母的范围需要做到不重不漏重不漏.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 【方法点睛方法点睛】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主解决恒成立问题一定要清楚选谁为主 元，谁
10、是参数元，谁是参数.一般地一般地,知道谁的范围知道谁的范围,就选谁当主元就选谁当主元,求谁的范求谁的范围围,谁就是参数谁就是参数.(2)(2)对于二次不等式恒成立问题对于二次不等式恒成立问题,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在的图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方,恒小于恒小于0 0就是相应的二就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在次函数的图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方.(3)(3)一元二次不等式恒成立的条件一元二次不等式恒成立的条件 axax2 2+bx+c+bx+c0(a0)0(a0)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件
11、是：a a0 0且且b b2 2-4ac4ac0(xR).0(xR).axax2 2+bx+c+bx+c0(a0)0(a0)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件是：a a0 0且且b b2 2-4ac4ac0(xR).0(xR).【例【例2 2】不等式】不等式mx2mx2-2x2x-m+1m+10 0，(1)(1)假设对任意实数假设对任意实数x x不等式恒成立不等式恒成立,求求m m的取值范围的取值范围.(2)(2)假设对一切假设对一切mm-2,22,2不等式恒成立不等式恒成立,求求x x的取值范围的取值范围.【解题指南】【解题指南】(1)(1)讨论讨论m m的情况的情况,结合二次函数图象求解
12、结合二次函数图象求解.(2)(2)变换主元将其看成关于变换主元将其看成关于m m的一元一次不等式的一元一次不等式,利用其定利用其定 义范围义范围-2,22,2求参数求参数x x的取值范围的取值范围.【标准解答】【标准解答】(1)(1)不等式不等式mx2mx2-2x2x-m+1m+10 0恒成立恒成立,即函数即函数f(x)=mx2f(x)=mx2-2x2x-m+1m+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方.当当m=0m=0时时,不等式变为不等式变为1 1-2x2x0 0，对任意实数，对任意实数x x不恒成立不恒成立,故故m m0 0不满足；不满足；当当m0m0时时,函数函数f(x)=mx2
13、f(x)=mx2-2x2x-m+1m+1为二次函数为二次函数,需满足图象开口需满足图象开口向下且方程向下且方程mx2mx2-2x2x-m+1m+10 0无解无解,即即 那么那么m m无解无解.综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m,m,使不等式恒成立使不等式恒成立.m 0,4 4 m(1 m)0(2)(2)设设g(m)=(x2g(m)=(x2-1)m+(11)m+(1-2x),2x),当当x2x2-1=01=0时，即时，即x=x=1,1,检验得检验得x=1x=1时符合题意时符合题意,当当x21x21时时,那那么其为一个以么其为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数,其图象是直线其
14、图象是直线,由题意知由题意知该直线当该直线当-2m22m2时在时在x x轴下方轴下方,22g2 02 x 2 x30 ,g 2 02 x 2 x10 即 解解,得得 或或 解解,得得 由由,得得 且且x1,x1,综上得综上得x x的取值范围为的取值范围为 17x2 17x,2 1313x.221713x,22 1 71 3 x|x.22【反思【反思 感悟】解决不等式恒成立问题感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：通常有两种思路：(1)(1)转化成含有参数的不等式转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象借助对应函数图象,找到满足题找到满足题目要求的条件目要求的条件,构造含参数的不等式构造含
15、参数的不等式(组组)，求得参数范围；，求得参数范围；(2)(2)别离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围别离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用 【方法点睛方法点睛】解不等式应用题的一般步骤解不等式应用题的一般步骤 阅读理解、认真审题，把握问题中的关阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系键量，找准不等关系 将文字语言转化为符号语言，用不等式将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型表示不等关系，建立相应的数学模型 解不等式，得到数学结论，要注意数学解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实
16、际意义模型中元素的实际意义 回归实际问题，将数学结论还原为实际回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果问题的结果 读读 建建 解解 答答【例【例3 3】汽车在行驶中】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为我们称这段距离为“刹车距离刹车距离.刹车刹车距离是分析事故的一个重要因素距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为在一个限速为40 km/h40 km/h的弯道上的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对发现情况不对,同时刹车同时刹车,但还是相碰了但还是相碰了.事后现场勘查测得甲事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过车的刹车距离略超过12 m,12 m,乙车的刹车距离略超过乙车的刹车距离略超过10 m,10 m,又知甲、又知甲、乙两种车型的刹车距离乙两种车型的刹车距离s(m)s(m)与车速与车速x(km/h)x(km/h)之间分别有如下关之间分别有如下关系：系：s s甲甲0.1x+0.01x2,s0.1x+0.01x2,s乙乙=0.05x+0.005x2.