1、第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 三年三年1919考考 高考指数高考指数:1.1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；次不等式组；3.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决加以解决.1.1.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义如斜率、距离、面积等；意义如斜率、距离、面积等；
2、2.2.多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解.1.1.二元一次不等式组的解集二元一次不等式组的解集 满足二元一次不等式组的满足二元一次不等式组的x x和和y y的取值构成的的取值构成的_ _，叫做二元一次不等式，叫做二元一次不等式(组组)的解，所有这样的的解，所有这样的_ _构成的集合称为二元一次不等式构成的集合称为二元一次不等式(组组)的解集的解集.有序数对有序数对 数对数对x x，y y x x，y y 有序有序 【即时应用】【即时
3、应用】1 1思考：二元一次不等式组的解集与平面直角坐标系内思考：二元一次不等式组的解集与平面直角坐标系内的点有何关系？的点有何关系？提示：二元一次不等式组的解集可以看成平面直角坐标系提示：二元一次不等式组的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合内的点构成的集合,所有以不等式组的解为坐标的点都在平所有以不等式组的解为坐标的点都在平面直角坐标系内面直角坐标系内,就构成了一个平面区域就构成了一个平面区域.2 2设点设点P Px,yx,y，其中，其中x x，yNyN，满足，满足x+y3x+y3的点的点P P的个数的个数 为为 .【解析】当【解析】当x=0 x=0时，时，y y可取可取0 0，1 1
4、，2 2，3,3,有有4 4个点；个点；当当x=1x=1时，时，y y可取可取0 0，1 1，2,2,有有3 3个点；个点；当当x=2x=2时，时，y y可取可取0 0，1,1,有有2 2个点；个点；当当x=3x=3时，时，y y可取可取0,0,有有1 1个点个点,故共有故共有1010个点个点.答案：答案：1010 2.2.二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 1 1在平面直角坐标系中二元一次不等式组表示的平面在平面直角坐标系中二元一次不等式组表示的平面区域区域 边界直线边界直线 边界直线边界直线 公共局部公共局部 2 2二元一次不等式表示的平面区域确实定二元一次不等式
5、表示的平面区域确实定 二元一次不等式所表示的平面区域确实定，一般是取不在直线二元一次不等式所表示的平面区域确实定，一般是取不在直线上的点上的点x0,y0 x0,y0作为测试点来进行判定，满足不等式的，那作为测试点来进行判定，满足不等式的，那么平面区域在测试点位于直线的一侧么平面区域在测试点位于直线的一侧,反之在直线的另一侧反之在直线的另一侧.【即时应用】【即时应用】1 1如图所表示的平面区域阴影局部用不等式表示如图所表示的平面区域阴影局部用不等式表示 为为 .2 2以下各点以下各点0,00,0;(-1,1);1,1);(-1,3);1,3);(2,(2,-3);3);(2,2)(2,2)在在x
6、+yx+y-1010所表示的平面区域内的是所表示的平面区域内的是 .3 3如果点如果点1 1，b b在两条平行直线在两条平行直线6x6x-8y+1=08y+1=0和和3x3x-4y+5=04y+5=0之间，那么之间，那么b b应取的整数值为应取的整数值为 .【解析】【解析】1 1由图可知边界直线过由图可知边界直线过-1,01,0和和0,20,2点点,故故直线方程为直线方程为2x2x-y+2=0.y+2=0.又又0,00,0在区域内在区域内,故区域应用不等式表示为故区域应用不等式表示为2x2x-y+20.y+20.2 2将各点代入不等式可知将各点代入不等式可知0,00,0,-1,11,1,2,2
7、,-3 3满足满足不等式不等式,故在平面区域内故在平面区域内.3 3令令x=1,x=1,代入代入6x6x-8y+1=08y+1=0，解得，解得 代入代入3x3x-4y+5=04y+5=0，解得，解得y=2.y=2.由题意得由题意得 b2,b2,又又b b为整数，为整数，b=1.b=1.答案：答案：1 12x2x-y+20 (2)y+20 (2)3 31 1 7y=8783.3.线性规划的有关概念线性规划的有关概念 不等式组不等式组 不等式组不等式组 最大值最大值 一次一次 (x,y)(x,y)可行解可行解 最大值或最小值最大值或最小值 解析式解析式 最小值最小值 【即时应用】【即时应用】1 1
8、思考：可行解和最优解有何关系？最优解是否唯一？思考：可行解和最优解有何关系？最优解是否唯一？提示提示:最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时只有一个，有时有多个解不一定唯一，有时只有一个，有时有多个.2 2变量变量x,yx,y满足条件满足条件 那么那么z=x+yz=x+y的最小值为的最小值为 ,最大值为最大值为 .x1y2,x-y0【解析】不等式组【解析】不等式组 所表示的平面区域如下图所表示的平面区域如下图,作出直线作出直线x+y=0 x+y=0，可观察知当直线过，可观察知当直线过A A点时点时z z最小最小.由由
9、得得A(1,1),A(1,1),此时此时zmin=1+1=2zmin=1+1=2；当直线过当直线过B B点时点时z z最大最大.由由 得得B(2,2),B(2,2),此时此时zmax=2+2=4.zmax=2+2=4.答案：答案：2 42 4 x1y2x-y0 x=1x-y=0y=2x-y=03 3假设变量假设变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件 那么那么z=xz=x-2y2y的最大的最大值值 为为 .【解析】不等式组【解析】不等式组 所表示的平面区域如下图所表示的平面区域如下图.作出直线作出直线x x-2y=02y=0，可观察出当直线过，可观察出当直线过A A点时点时z z取得最大值取得
10、最大值.由由 得得 此时此时zmax=1+2=3.zmax=1+2=3.答案：答案：3 3 y1x+y0,x-y-20y1x+y0 x-y-20 x+y=0 x-y-2=0 x=1,y=-1 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域【方法点睛】【方法点睛】1.二元一次不等式表示的平面区域的画法二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,设有直线设有直线Ax+By+C=0B不为不为0及点及点 Px0,y0,那么那么 1假设假设B0,Ax0+By0+C0,那么点那么点P在直线的上方在直线的上方,此时不此时不等式等式Ax+By+C0表示直线表示直线A
11、x+By+C=0的上方的区域的上方的区域.2 2假设假设B B0,Ax0+By0+C0,Ax0+By0+C0,0,那么点那么点P P在直线的下方在直线的下方,此时不等此时不等式式Ax+By+CAx+By+C0 0表示直线表示直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的下方的区域的下方的区域.注：假设注：假设 B B为负为负,那么可先将其变为正那么可先将其变为正 3 3假设是二元一次不等式组假设是二元一次不等式组,那么其平面区域是所有平面区域那么其平面区域是所有平面区域的公共局部的公共局部.2.2.求平面区域的面积求平面区域的面积 求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根求平面区域
12、的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积据区域的形状求面积.提醒提醒:在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等号时在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等号时画虚线画虚线.【例【例1 1】不等式组】不等式组 (1)(1)画出该不等式组所表示的平面区域；画出该不等式组所表示的平面区域；(2)(2)设该平面区域为设该平面区域为S,S,求当求当a a从从-3 3到到6 6连续变化时，连续变化时，x x-y=ay=a扫过扫过S S中的那局部区域的面积中的那局部区域的面积.【解题指南】【解题指南】1 1先画出各个不等式对应的直线画成实线先画出各个不等式对应的直线画成实
13、线,再通过测试点确定区域再通过测试点确定区域.2 2通过直线变动确定扫过的图形形状再求面积通过直线变动确定扫过的图形形状再求面积.x-y+50 x+y0 x3【标准解答】【标准解答】(1)(1)不等式不等式x x-y+50y+50表示直线表示直线x x-y+5=0y+5=0上的点及右上的点及右下方的点的集合，下方的点的集合，x+y0 x+y0表示直线表示直线x+y=0 x+y=0上的点及右上方的点的上的点及右上方的点的集合，集合，x3x3表示直线表示直线x=3x=3上及其左方的点的集合上及其左方的点的集合.不等式组表示不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域的平面区域即为图示的三角形区域.O
14、-5 x 3 C(3,-3)A(3,8)B(,)5252x=3 x+y=0 x-y+5=0 y 2 2由题意可知由题意可知x x-y=ay=a扫过扫过S S的局部区域如下图：的局部区域如下图：x y o x+y=0 x=3 x-y=-3 C(3,-3)D(3,6)E)23,23(DC=9,DC=9,CDECDE的边的边CDCD上的高为上的高为 所求区域的面积所求区域的面积 393+=,2219 81=9=.224【反思【反思感悟】感悟】1.1.作平面区域时要作平面区域时要“直线定界直线定界,测试点定域测试点定域,当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，假当不等式无等号时直线画成虚线
15、，有等号时直线画成实线，假设直线不过原点，测试点常选取原点设直线不过原点，测试点常选取原点.2.2.求平面区域的面积求平面区域的面积,要先确定区域要先确定区域,假设是规那么图形可直接假设是规那么图形可直接求，假设不规那么可通过分割求解求，假设不规那么可通过分割求解.简单的线性规划问题简单的线性规划问题【方法点睛】【方法点睛】1.利用线性规划求目标函数最值的步骤利用线性规划求目标函数最值的步骤 1画出约束条件对应的可行域；画出约束条件对应的可行域；2将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；优解对应的点；3将最优解代入目标函
16、数，求出最大值或最小值将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.2.2.目标函数最值问题分析目标函数最值问题分析 1 1线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定，特别地对最优整数解可视情况而定.2 2目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等等.【例【例2 2】实数】实数x,yx,y满足满足 1 1假设假设z=xz=x-2y,2y,求求z z的最大值和最小值；的最大值和最小值；2 2假设假设z=x2+y2,z=x2+y2,求求z z的最大值和最小值；的最大值和最小值；3 3假设假设 求求z z的最大值和最小值的最大值和最小值.【解题指南】【解题指南】1 1作出可行域与直线作出可行域与直线x x-2y=02y=0，观察确定最优解，观察确定最优解；2 2由几何意义可确定由几何意义可确定z=x2+y2z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的为可行域内的点到原点的距离的平方，以此求解；平方，以此求解；3 3由几何意义可知所求为可行域内的点与原