1、能力升级练(十七)直线与圆一、选择题1.(2023山西运城中学、芮城中学期中联考)直线l:xsin 30+ycos 150+1=0的斜率为()A.33B.3C.-3D.-33解析直线方程为12x-32y+1=0,整理为斜截式为y=33x+233,可知直线的斜率为33.故选A.答案A2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1解析由题意知圆心的坐标为(1,2).易知(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),所以圆(x-1)2+(y-
2、2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.答案A3.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.2解析圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43.答案A4.(2023重庆期末)直线mx+y+1-m=0与圆x2+y2+x-2y-6=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定解析把圆的方程化为标准形式可得x+122+(y-1)2=294,直线方程可化为m(x-1)+y+1=0,
3、故可得直线过定点A(1,-1),点A到圆心的距离为94+4=52292,即点A在圆内,故直线与圆相交,故选A.答案A5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC,BD,则以点A,B,C,D为顶点的四边形ABCD的面积为()A.106B.206C.306D.406解析已知圆的圆心为(3,4),半径为5,则最短的弦长为252-12=46,最长的弦为圆的直径为10,且最短的弦与最长的弦垂直,于是四边形的面积为124610=206.故选B.答案B6.(2023江西临川第一中学高三上学期期末)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为Q(1,1),
4、直线AB交x轴于点P,则|PA|PB|=()A.4B.5C.6D.8解析x2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9,所以圆x2+y2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径为3.它与坐标轴的交点分别为M,N,所以|MO|=1,|NO|=5,因为弦AB的中点为Q(1,1),所以QCAB,kQC=1-01-2=-1,所以kAB=1,所以直线AB的方程为y-1=x-1,即y=x,所以点P的坐标为(0,0),它与原点重合.由圆的性质可得|PA|PB|=|MO|NO|=5,故选B.答案B7.(2023湖北沙市中学期末)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x和l2:y=kx-1
5、被圆C所截得的弦的长度之比为12,则k的值为()A.12B.33C.1D.3解析圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,圆心到线l1:y=3x的距离为3,l1被圆C所截得的弦的长度为222-3=2,圆心到l2的距离为|2k-1|k2+1,l2被圆C所截得的弦的长度为24-2k-1k2+12,由l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为12,可得24-2k-1k2+12=22,解得k=12,故选A.答案A8.(2023湖南永州模拟)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6
6、y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0解析由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,因为|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.答案D9.直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,且|MN|3|OM+ON|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是().A.(-22,-22,22)B.(-42,-2222,42)C.-2,2D.-22,22解析设MN的中点为D,则OM+ON=2OD,
7、|MN|23|OD|,由|OD|2+14|MN|2=16,得16=|OD|2+14|MN|2|OD|2+14(23|OD|)2,从而得|OD|2,由点到直线的距离公式可得|OD|=|m|22,解得-22m22.答案D二、填空题10.(2023山东日照六校联考)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆有条公切线.解析圆C1的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C1(-1,3),半径为r1=3,圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16,圆心为C2(2,-1),半径为r2=4,又|C1C2|=(-1-2)2+3-(-1)2=5
8、,故r2-r1|C1C2|0,c0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则12a+2c的最小值为.解析动直线l0:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,所以(4-1)2+(0-m)2=3,解得m=0.所以a+c=2.又a0,c0,所以12a+2c=12(a+c)12a+2c=1252+c2a+2ac1252+2c2a2ac=94,当且仅当c=2a=43时取等号.答案9412.(2023四川绵阳质检)若A(-33,y0)是直线l:3x+y+a=0(a0)上的点,直线l与圆C:(x-3)
9、2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|=.解析因为MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(3,-2),半径为r=23,所以根据点C到直线l的距离可得:r2-r22=3=|3-2+a|3+1,即|a+1|=6,因为a0,所以a=5,所以直线l的方程为3x+y+5=0,又A(-33,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-33,4),所以|AP|=|AC|2-|PC|2=(-33-3)2+(4+2)2-12=62.答案6213.设圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P
10、,若A恰好为线段BP的中点,则直线l的方程为.解析圆C:(x-3)2+(y-5)2=5的圆心C的坐标为(3,5),半径为5,设P点的坐标为(0,b).因为A是线段BP的中点,AP=AB=2r,CP=3r=35,即(3-0)2+(5-b)2=(35)2,解得b=-1或b=11.当b=-1时,直线l的方程为2x-y-1=0,当b=11时,直线l的方程为2x+y-11=0.答案2x-y-1=0或2x+y-11=0三、解答题14.(2023安徽六安模考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与y轴相切,且过点M(1,3),N(1,-3).(1)求圆C的方程;(2)已知直线l与圆C交于A,B两点,且直线OA
11、与直线OB的斜率之积为-2.求证:直线l恒过定点,并求出定点的坐标.解(1)因为圆C过点M(1,3),N(1,-3),所以圆心C在线段MN的垂直平分线上,即在x轴上,故设圆心为C(a,0),易知a0,又圆C与y轴相切,所以圆C的半径r=a,所以圆C的方程为(x-a)2+y2=a2.因为点M(1,3)在圆C上,所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2.所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(2)记直线OA的斜率为k(k0),则其方程为y=kx.联立,得(x-2)2+y2=4,y=kx,消去y,得(k2+1)x2-4x=0,解得x1=0,x2=4k2+1.所以A4k2+1,4kk2+1.由k
12、kOB=-2,得kOB=-2k,直线OB的方程为y=-2kx,在点A的坐标中用-2k代换k,得B4k2k2+4,-8kk2+4.当直线l的斜率不存在时,4k2+1=4k2k2+4,得k2=2,此时直线l的方程为x=43.当直线l的斜率存在时,4k2+14k2k2+4,即k22.则直线l的斜率为4kk2+1-8kk2+44k2+1-4k2k2+4=4k(k2+4)+8k(k2+1)4(k2+4)-4k2(k2+1)=3k(k2+2)4-k4=3k2-k2.故直线l的方程为y-4kk2+1=3k2-k2x-4k2+1.即y=3k2-k2x-43,所以直线l过定点43,0.综上,直线l恒过定点,定点
13、坐标为43,0.15.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.解(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0,得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8.若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB0矛盾.x=-6,y=-8舍去,即AB=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10,OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直线OB的方程为y=12x.设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3,所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.9