1、能力升级练(十七)椭圆、双曲线与抛物线一、选择题1.(2023福建厦门3月质量检查)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()A.2B.4C.2D.4解析由抛物线x2=ay,可知:焦点坐标为0,a4,准线方程为y=-a4,抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为a4+a4=1,解得a=2,故选C.答案C2.(2023四川成都高新区高三一诊)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为34C.短轴长为14D.离心率为32解析把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,长轴长为2a=1,焦距2
2、c=32,短轴长为2b=12,离心率e=ca=32,故选D.答案D3.双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为43,则双曲线C1的实轴长为()A.6B.26C.3D.23解析设双曲线C1的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9;将-3代入双曲线方程,解得y=ba9-a2,又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为43,所以2ba9-a2=43与a2+b2=9联立,得a2+23a-9=0,解得a=3,故双曲线
3、C1的实轴长为23.故选D.答案D4.(2023青海西宁四中第二次模拟)双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过点F1的弦AB的长为5,那么ABF2的周长是()A.12B.16C.21D.26解析依题意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16,又|AB|=5,|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21.|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即ABF2的周长是26.故选D.答案D5.(2023广东东莞二调)直线l经过椭圆的一个顶
4、点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,则直线方程为xc+yb=1,椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,b2c2=3,a2-c2c2=3,e=ca=12.故选B.答案B6.(2023湖北七市教研协作体4月联考)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,若|AF|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=3xC.
5、y2=4xD.y2=x解析抛物线y2=2px(p0)的焦点F的坐标为p2,0,准线方程为x=-p2,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=3x,由于过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,且|AF|BF|,所以可设直线AB方程为y=3x-p2,设A(x0,y0)x0p2,则|AF|=x0+p2=2,x0=2-p2,由x0p2可得0p0,b0)的离心率为2,A,B为其左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率为k1,k2,k3,则m=k1k2k3的取值范围为()A.(0,33)B.
6、(0,3)C.0,39D.(0,8)解析e=ca=2,b=3a,设P(x,y),则x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=b2a2=3,又双曲线的渐近线为y=3x,所以0k33,故0m0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=
7、c2a2=2,e=2,故选A.答案A二、填空题10.(2023江西九江一模)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为22,则椭圆C1的标准方程为.解析由题意可设椭圆C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a2,0bb0)的离心率为32,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1k2的值为.解析椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是e=ca=1-b2a2=32,a=2b,于是椭圆的方程可化为x2
8、+4y2=4b2.设M(m,n),直线AB的方程为y=kx,可得A(x0,kx0),B(-x0,-kx0).则m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2.m2-x02=4k2x02-4n2,k1k2=kx0-nx0-m-kx0-n-x0-m=n2-k2x02m2-x02=n2-k2x024k2x02-4n2=-14.k1k2=-14.答案-1412.(2023全国,文15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|
9、=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15).答案(3,15)13.(2023山西吕梁一模)如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.解析易知圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2
10、,0),正好是抛物线y2=8x的焦点,圆(x-2)2+y2=16与抛物线y2=8x在第一象限交于点C(2,4),过点A作抛物线准线的垂线,垂足为点D,则AF=AD,则AF+AB=AD+AB=BD,当点B位于圆(x-2)2+y2=16与x轴的交点(6,0)时,BD取最大值8,由于点B在实线上运动,因此当点B与点C重合时,BD取最小值4,此时A与B重合,由于F、A、B构成三角形,因此4BD8,所以,8BF+BDb0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,MF1MF2=0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点(2,-1)且不经过
11、点M的直线l与C相交于G,H两点.若k1,k2分别为直线MH,MG的斜率,求k1+k2的值.解(1)由MF1MF2=0,得b=c.因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=2,所以b2a=22,b=c,b2a=22,a2=b2+c2a2=2,b2=1.故椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设直线l的方程为y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,显然k-1且k0.将y=kx-2k-1代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,由题设可知=-16k(k+2)0,设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=4k(2k+1)1+2k
12、2,x1x2=8k2+8k1+2k2,k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2k-2x1+kx2-2k-2x2=2k-(2k+2)4k(2k+1)1+2k28k2+8k1+2k2=2k-(2k+1)=-1,所以k1+k2=-1.15.(2023天津,文19)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a
13、2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由()知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+(34)2=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.9