1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20220417;修回日期:20220523基金项目:浙江省自然科学基金重点项目(LZ21A040001);国家自然科学基金(12074344)资助作者简介:宋雨霏(2000)，女，浙江宁波人，浙江师范大学物理系 2019 级本科生通信作者:梁兆新，E-mail:zhxliang zjnueducn格林互易定理在静电学和检验数学恒等式中的应用宋雨霏，梁兆新(浙江师范大学 物理学系，浙江 金华321004)摘要:格林互易定理描述在静电平衡下任意两组导体电势在不同电荷分布
2、下存在的数学关系，该关系在任意导体形状下、任意的其他导体分布情况下均成立 本文讨论了格林互易定理在静电学以及在先验式检验数学恒等式中的应用 通过与镜像法和本征函数展开法比较，本文展示了格林互易定理在处理一些静电学问题时的优势 另外，本文列举了常用方法基本不能求解，格林互易可以轻松求解的无限平行板电容器问题 特别是本文采用先验式的逻辑思路，基于格林互易定理设计了一个检验拉马努金著名无限求和公式以及其他一些数学恒等式的理想物理实验方案关键词:格林互易定理;静电学;电势;拉马努金无限求和公式中图分类号:O 41文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0075-06【DOI】101
3、6854/jcnki1000-0712220197格林互易定理的数学本质是拉普拉斯算符的自伴性，在物理学中具有巨大的应用价值 以物理中静电学的语言，可以对格林互易定理进行如下简明阐述:在静电平衡下，取任意形状和距离的两导体，给定任意两种不同的充电模式，电荷及其对应的电势分别标记为 q1、q2、1、2和 q1、q2、1、2;则存在如下严格数学恒等式 q11+q22=q11+q22 对于多导体系统，上述格林互易定理依然成立格林互易定理在电动力学中有巨大应用价值相较于传统的镜像法和本征函数展开法等方法，格林互易定理的特点是只需要着眼于物理系统两种静电状态的电势和电荷，通过巧妙设计电荷和电势分布消除不
4、必要的未知量从而获得结果 其解题逻辑清晰易懂，步骤简便，对于一部分静电学的问题，有明显的解题优势 例如，丁健和李奎春1 对格林互易定理在均匀带电圆环的静电势分布的应用;王军杰和金彪2 对格林互易定理在中学竞赛中的应用也进行了详细的介绍 但是都没有将静电学中几种常见的方法与格林互易定理进行对比与讨论，也缺少格林互易定理在导体球壳导体球上的应用本文内容主要分为 3 个方面:1)对格林互易定理进行了严格数学证明，并强调了其成立所需满足的物理条件;2)选取静电学中最典型的几类例题分别用镜像法、本征展开法以及格林互易法进行求解分析，通过比较展示了格林互易定理在求解某些静电学问题中的优势 另外，通过列表总
5、结了镜像法、本征展开法和格林互易定理法在求解静电学问题时各自的优缺点;3)讨论格林互易定理在实际物理问题中的应用，提出检验拉马努金无限求和公式和其他几个数学恒等式的实验方案，并形成一套验证数学恒等式的物理方法1格林互易定理证明格林互易定理严格数学证明虽然在一些教科书中给出，但是在国内大学广泛使用的郭硕鸿著电动力学 中没有被提及为了保持本文理论框架的完整性，下面我们将给出格林互易定理的严格证明格林互易定理的严格表述如下:当一组(n 个)导体上的电荷为 Q1、Q2、Qn时，各导体上的电势分别为 1、2、n;重新设置导体上电荷为 q1、q2、qn，则对应的电势为 1、2、n，则有ni=1Qii=ni
6、=1qii证明:给定任何闭合区域 S，在此中选择 2 个连续可微的函数、，由高斯定理可得V()d=sdS(1)互换、两个函数位置，再应用高斯定理可得V()d=sdS(2)76大学物理第 41 卷将式(2)与式(1)相减得V(22)d=s()dS(3)上式即为格林定理 接下来将用格林定理证明格林互易定理 在一个空间中放入 a 个导体，取无限远处为封闭曲面 S0 现挖去其中所有导体，因此产生 a个闭合曲面 Si，方向以垂直表面向导体内部为正剩余的空间，是一个多连通的闭合区域，记为 S 现对其进行两种充电模式，导体上分别带有电荷 qi和 qi 此时对应的电势分布分别为(r)和(r)由于电荷都分布在导
7、体表面上，所以在多联通区域内2=0，2=0 令=，=，将其代入式(3)则易得到等式右边为 0，有mi=1Si()dSi=0(4)化简可得mi=1Si(nn)dSi=0(5)已知导体表面的电荷分布是 i=nSi和i=nSi，导体表面是等势体，电势为 i=Si和 i=Si 将这些量代入式(5)可得iSiiidSiSiiidSi()=0(6)积分后可得格林互易定理:mi=1qii=mi=1qii(7)式(7)的适用条件3:无限大空间中有限带电体;静电静磁导体情况适用2格林互易定理在静电学中应用4 静电场就是相对观察者静止的电场，静电场是研究电场的基础，为后续研究电磁波的传播奠定基础 处理静电场问题的
8、方法有本征展开法(分离变量法)、镜像法、格林函数法等 这些方法的核心是将物理问题转化为数学物理方程进行求解，计算复杂，在某些问题中操作困难 本文将格林互易定理与这几种方法进行比较21点电荷与接地导体球接地导体球和点电荷问题是静电学中最常见的问题，展现了最基本的导体电荷与电势的关系 现给出一例题，如图 1 所示，题目如下:在真空中将半径为 的金属球接地，在与球心 O 相距为 d(d)处放置一个电荷量为 q 的点电荷，不计接地导线上电荷的影响，求金属球表面上感应的电荷量图 1接地导体球与点电荷该例题用镜像法和格林互易定理都可以求解，但是前者要比后者繁杂得多 本文将用 2 种方法求解并进行对比 因为
9、镜像法在郭硕鸿著电动力学第 3 版第 54 页有详细过程5，在这简略地介绍211镜像法已知球外的电势满足如下泊松方程:2外=q(rdz)0(8)由于金属球静电平衡则在球内部 E 为 0，所以内部的电势不做考虑 容易得到边界条件:|r=0，|r=0(9)对于 外来说球内即为虚拟空间，在球内设虚拟电荷不影响外部 又因为球的旋转对称性，电荷只能在极轴上，即水平轴 现令球内虚拟电荷为q，其位置距离球心为 b，将球心与 q 的距离用 d 来表示 现取球外任意一点 o，o距 q 的距离为 rd，距q的距离为 rb，与球心的距离为 r，则其电势为=140qrdqrb(10)令 r 与水平轴的夹角为，可得r2
10、d=r2+d22rdcos，r2b=r2+b22rbcos(11)由于对于任意的夹角都成立，则与角度无关，可得2bq2=2dq2，(2+b2)q2=(2+d2)q2(12)之后就可求得 q和 b 同时也能求得球表面电荷，积分后获得球表面的感应电荷 该方法过程复杂，计算繁琐，同时需要一定的空间想象能力212格林互易定理法6 格林互易定理的核心是通过设置不同充电模式，让式(7)与题无关的量交叉相乘为零，从而求得需要的量 以题意为第一种充电模式，在这种充电模式下导体球接地，以地为电势零点，则此时 球=0，而 q未知 令 q为所求电荷量，也就是球表面的电荷，则第 1 种充电模式为 q，q，0，q(13
11、)第 11 期宋雨霏，等:格林互易定理在静电学和检验数学恒等式中的应用77现在让导体球不接地并且给予电荷量 q，令点电荷为零，则第 2 种充电模式为 q，0，q40，q40d(14)根据格林互易定理，式(13)和(14)的 2 种充电模式交叉相乘可得 q，q，0，q q，0，q40，q40d(15)最后很容易得到导体球表面感应电荷量为q=dq(16)两种方法计算结果完全相同，但格林互易法不管从计算难度，方法步骤还是物理思想上都要比镜像法简单得多将这道题进行扩展，再加几个点电荷或者导体球 如图 2 所示，在原来的基础上增加一个距离圆心 r，电荷量为 Q 的点电荷 如果用镜像法，两个以上的点电荷无
12、法很好的镜像，很难计算 但是用格林互易定理，就会很简单图 2接地导体球与两个点电荷根据上述格林互易定理解法得第 1 种充电模式:q，q，Q，0，q，Q(17)令导体球不接地并给予电荷量 q，其余点电荷零，则第 2 种充电模式为 q，0，0，q40，q40d，q40r(18)交叉相乘可得q=qd+Qr()(19)用格林互易定理解决该类问题方便快捷，物理思维简单易懂22接地导体球壳与导体球当问题变复杂，把 21 题目中的点电荷变为导体球壳，此时镜像法就无法使用，但格林互易定理还能应用，轻松解决该问题如图3 所示，内外径分别为 2、3导体球壳，带电荷量为Q，同心地包围着一个半径为1的接地导体球，12
13、，求空间各点电势和导体球上的感应电荷图 3导体球壳与接地导体球该题虽然不能用镜像法，但可以使用本征函数展开法，过程繁琐复杂 本文将用本征函数展开法和格林互易定理求解并进行对比221本征函数展开法选图 3 所示导体部分之外的介质(真空)部分为研究体系，由于球对称，解不依赖于角度，则电势的通解为(r)=A+Br(20)设不同区间的电势为1=a+br，(r3)，2=c+dr，(2r1)(21)由题意知边界条件:2|r=1=0，1|r=0，2|r=2=1|r=3(22)除此之外还有关于电荷导出的边界条件:sDdS=Q(23)化简可得r 31rr2d+2 r 12rr2d=Q0(24)接下来将所设的电势
14、代入边界条件并联立求出未知的量即 a、b、c、d，可解出 1和 2 用本征函数展开法将一个物理问题变成了一个数学问题，减少了题目包含的物理思想 并且本征函数展开法需要知道通解的表达式，边界条件计算复杂，不容易求解222格林互易定理法假设中心球带电荷量为 q，把导体球壳看成一个整体，则第 1 种充电模式:Q，q，0(25)对于第 2 种充电模式，假设中心导体球不接地，并令其所带电荷量为 q，1为球壳上的电势，2为中心导体球上的电势此时球壳上的电荷量为 0，则78大学物理第 41 卷 0，q，1，2(26)现计算 1和 2，有1=3q40r2dr+3q壳内40r2dr+3q壳外40r2dr，2=1
15、q40r2dr+2q壳内40r2dr+3q壳外40r2dr(27)由于球壳上的电荷为零，则壳内侧的电荷和壳外侧的电荷相加为零，可得1=q403(28)由于静电平衡则在球壳内表面感应出了q的电荷量，在球壳外表面感应出了 q的电荷量，则利用格林互易定理交叉相乘可快速求得q=1311+1312Q(29)感应电荷求出，则代回电势表达式可求出电势 可见格林互易定理在解这类题目时也是非常方便的23无穷层平行板电容器通过前面 2 个例子，可以知道格林互易定理可以使部分题目解题过程得到很大的简化，但是用其他方法也可以做 接下来的例子无法用静电学其他常用的方法进行求解，但从格林互易定理入手可以大大简化题目难度，
16、快速求解如图 4 所示，有无穷块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为 L，相邻两板彼此相对的两个表面的问距均为 d，dL 将这些导体板从左至右顺次编号为 1，2，n，开始每板上都带有净电荷，已知第 1 块板上的净电荷量为 q1(设 q10)，第 n 块板上的净电荷量 qn=nq1，现将第 1 块和第 n 块导体板接地 忽略边缘效应，1)忽略 n 块极板之后的极板，第 n 块导体板上流入大地的电荷量 qn为 q1的多少倍?2)假设只有 n 块极板，上述两板接地后 n块板中哪块板上的电势最高?图 4无穷平行板电容器现在用格林互易定理进行求解由题意可知，当第 1 块和第 n 块导体板接地后，这两块板电荷量发生改变，所有极板的电势也发生了改变，但 n 极板之后的极板则可设第 1 n 块极板的总电荷量和电势分别为:(Q1，2q1，3q1，(n1)q1，Qn)，(0，U2，U3，Un1，0)(30)对于第 1 问:改变导体板上的电荷量，使第一块板子带电荷量为Q，最后一块板子带电荷量为 Q，中间板子都不带电 并且第一块板子接地，最后一块板子不接地 令 C 为相邻两板间的电容则板子的电荷量和电势分别