1、2023年中考数学专题复习第十八讲 等腰三角形与直角三角形【根底知识回忆】一、等腰三角形 1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形 2、等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 3、等腰三角形的判定： 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题
2、，讨论边时应注意保证 讨论角时应主要底角只被围 角】4、等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴等边三角形的判定： 有三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是 度的 三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 角的平分线：1、性质：角平分线上的点到 得距离相等2、判定：到角两边距离相等的 【
3、名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的2、要移用作一条线段的垂直平分线和角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：假设 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c那么a、b、c满足 逆定理：假设一个三角形的三边a、b、c满足 那么这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】2、直角三角形的性质： 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角 直角三
4、角形斜边的中线等于 在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对 边是 边的一半3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：有一个角是 的三角形是直角三角形 有两个角是 的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】 考点一：等腰三角形性质的运用例1 2023襄阳在等腰ABC中，A=30，AB=8，那么AB边上的高CD的长是 或4分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，
5、然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可解：1当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4；2当AB=BC时，那么A=ACB=30，ACD=60，BCD=30，CD=cosBCDBC=cos308=4；3当AC=BC时，那么AD=4，CD=tanAAD=tan304=；故答案为：或或4。w w w .点评：此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系对应训练12023广安等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，那么ABC底角的度数为A45B75C45或75D601C分析：首先根据题意画出图形
6、，注意分别从BAC是顶角与BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案解答：解：如图1：AB=AC，ADBC，BD=CD=BC，ADB=90，AD=BC，AD=BD，B=45，即此时ABC底角的度数为45；如图2，AC=BC，ADBC，ADC=90，AD=BC，AD=AC，C=30，CAB=B=75，即此时ABC底角的度数为75；综上，ABC底角的度数为45或75应选C点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键 考点二：线段垂直平分线例2 2023毕节地区如图在RtABC中，A
7、=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，假设BD=1，那么AC的长是A B2 C D4思路分析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解：A=30，B=90，ACB=180-30-90=60，DE垂直平分斜边AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=60-30=30，BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，在BCD中，由勾股定理得：CB=，在ABC中，由勾股定理得：AC=2，应选A点评：此题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应
8、用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比拟强，难度适中对应训练22023贵阳如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，假设F=30，DE=1，那么EF的长是A3 B2 C D12B分析：连接AF，求出AF=BF，求出AFD、B，得出BAC=30，求出AE，求出FAC=AFE=30，推出AE=EF，代入求出即可解答：解：连接AF，DF是AB的垂直平分线，AF=BF，FDAB，AFD=BFD=30，B=FAB=90-30=60，ACB=90，BAC=30，FAC=60-30=30，DE=1，AE=2DE=2，FAE=AFD=30，EF=AE=2，
9、应选B点评：此题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比拟强 考点三：等边三角形的判定与性质例3 2023遵义如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动与A、C不重合，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动Q不与B重合，过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D1当BQD=30时，求AP的长；2当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由思路分析：1由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60，再由BQD=30
10、可知QPC=90，设AP=x，那么PC=6-x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x= 6+x，求出x的值即可；2作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变解答：解：1ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，那么PC=6-x，
11、QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x=6+x，解得x=2；2当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：如图，作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，A=FBQ=AEP=BFQ=90，APE=BQF，,APEBQF，AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，当点P、Q运动时，
12、线段DE的长度不会改变点评：此题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键对应训练32023湘潭如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F1猜测AC与BD的位置关系，并证明你的结论；2求线段BD的长3分析：1由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BDDE，由E=ACB=60可知ACDE，故可得出结论；2在RtBDE中利用勾股定理即可得出BD的长解答：解：1ACBDDCE由ABC平移而成，BE=2BC=6，DE=AC=3，E=ACB=60，DE=BE，BDDE，E=ACB=60，ACDE，BDAC；2在RtBED中，BE=6，DE=3，BD=点评：此题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键考点四：角的平分线例4 2023梅州如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，假设EC=1，那么EF= 2思路分析：作EGOA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到OEF=COE=15，然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG=30，利用30角所对的直角边是斜边的一半解