1、解直角三角形一、选择题1(2023福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点不与A，B重合，连接OP，设POB=，那么点P的坐标是Asin，sinBcos，cosCcos，sinDsin，cos【考点】解直角三角形；坐标与图形性质【专题】计算题；三角形【分析】过P作PQOB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标【解答】解：过P作PQOB，交OB于点Q，在RtOPQ中，OP=1，POQ=，sin=，cos=，即PQ=sin，OQ=cos，那么P的坐标为cos，sin，应选C【点评】此题考查了解直角三角形
2、，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键2(2023云南)一座楼梯的示意图如以下图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，CA=4米，楼梯宽度1米，那么地毯的面积至少需要A米2B米2C4+米2D4+4tan米2【考点】解直角三角形的应用【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果【解答】解：在RtABC中，BC=ACtan=4tan米，AC+BC=4+4tan米，地毯的面积至少需要14+4tan=4+tan米2；应选：D【点评】此题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键3
3、2023四川巴中一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶撤除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如以下图，那么以下关系或说法正确的选项是A斜坡AB的坡度是10B斜坡AB的坡度是tan10CAC=1.2tan10米DAB=米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正确；应选：B42023山东省聊城市，3分聊城“水城之眼摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33，测得圆
4、心O的仰角为21，那么小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为tan330.65，tan210.38A169米 B204米 C240米 D407米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】过C作CDAB于D，在RtACD中，求得AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，求得OD=CDtanBCO=CDtan21，列方程即可得到结论【解答】解：过C作CDAB于D，在RtACD中，AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，OD=CDtanBCO=CDtan21，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33CDtan21=55m，CD=204m，答：
5、小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m应选B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键52023.山东省泰安市，3分如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46方向上，假设该船继续向南航行至离灯塔最近位置，那么此时轮船离灯塔的距离约为由科学计算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947A22.48B41.68C43.16D55.63【分析】过点P作PAMN于点A
6、，那么假设该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PAMN于点A，MN=302=60海里，MNC=90，CPN=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，MN=PN=60海里，CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68海里应选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键62023江苏苏州如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾
7、斜角ACD为45，那么调整后的楼梯AC的长为A2m B2m C22m D22m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可【解答】解：在RtABD中，sinABD=，AD=4sin60=2m，在RtACD中，sinACD=，AC=2m应选B72023辽宁沈阳如图，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，那么BC的长是A B4 C8D4【考点】解直角三角形【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可【解答】解：在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，cosB=，即cos30=，BC=8=4
8、；应选：D【点评】此题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是根底知识，需要熟练掌握二、填空题12023黑龙江大庆一艘轮船在小岛A的北偏东60方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45的C处，那么该船行驶的速度为海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由可得BC=3x，AQBC，BAQ=60，CAQ=45，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可【解答】解：如以下图：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45的C处，由题意
9、得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，BAQ=60，B=9060=30，AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，CAQ=45，CQ=AQ=40，BC=40+40=3x，解得：x=即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键22023湖北十堰在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EFMN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位
10、于北偏东30方向，此时，其他同学测得CD=10米请根据这些数据求出河的宽度为30+10米结果保存根号【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】如图作BHEF，CKMN，垂足分别为H、K，那么四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30=列出方程即可解决问题【解答】解：如图作BHEF，CKMN，垂足分别为H、K，那么四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，CKA=90，CAK=45，CAK=ACK=45，AK=CK=x，BK=HC=AKAB=x30，HD=x30+10=x20，在RTBHD中，BHD=30，HBD=30，tan30=，=，解得x=30+10河的宽度为30+10米【点
11、评】此题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型3. 2023年浙江省宁波市如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60，测角仪高AD为1m，那么旗杆高BC为10+1m结果保存根号【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】首先过点A作AEDC，交BC于点E，那么AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在RtBAE中，BAE=60，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案【解答】解：如图，过点A作AEDC，交BC于点E，那么AE=CD=1
12、0m，CE=AD=1m，在RtBAE中，BAE=60，BE=AEtan60=10m，BC=CE+BE=10+1m旗杆高BC为10+1m故答案为：10+1【点评】此题考查仰角的定义注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键4(2023福州，18,4分)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点菱形的一个角O为60，A，B，C都在格点上，那么tanABC的值是【考点】菱形的性质；解直角三角形【专题】网格型【分析】如图，连接EA、EB，先证明AEB=90，根据tanABC=，求出AE、EB即可解决问题【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得AEF
13、=30，BEF=60，AE=a，EB=2aAEB=90，tanABC=故答案为【点评】此题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型52023上海如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30，测得底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米精确到1米，参考数据：1.73【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度【解答】解：由题意可得：tan30=，解得：BD=30，tan60=，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120208m，故答案为：208【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6(2023大连，15，3分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里结果取整数参考数据：sin550.8，cos550.6，tan551.4【考