1、2023年全国中考数学压轴题集锦1、2023浙江金华如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)假设S梯形OBCD,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.假设存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.解 1直线AB解析式为：y=x+ 2方法一：设点坐标为x，x+，那么ODx，CDx+由题意： ，解得舍去，方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CDCDAD可得CD AD=，ODC，当OBPRt时，如图
2、 假设BOPOBA，那么BOPBAO=30，BP=OB=3，3， 假设BPOOBA，那么BPOBAO=30,OP=OB=11，当OPBRt时 过点P作OPBC于点P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30过点P作PMOA于点M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM，方法二：设x ，x+，得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此时， 假设POBOBA(如图)，那么OBP=BAO30，POM30 PMOM，由对称性也可得到点的坐标当OPBRt时，点P在轴上,不符合要求.综合得，符合
3、条件的点有四个，分别是：3，1，2、2023重庆如图1所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形如图2所示.将纸片沿直线AB方向平移点始终在同一直线上，当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.(1) 当平移到如图3所示的位置时，猜测图中的与的数量关系，并证明你的猜测；(2) 设平移距离为，与重叠局部面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；3对于2中的结论是否存在这样的的值，使重叠局部的面积等于原面积的.假设存在，求x的值；假设不存在，请说明理由. 图1图3图2APCQBD解 1.因为
4、，所以.又因为，CD是斜边上的中线，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因为，所以.所以2因为在中，所以由勾股定理，得即又因为，所以.所以在中，到的距离就是的边上的高，为.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以 ，而所以(3) 存在. 当时，即整理，得解得，.即当或时，重叠局部的面积等于原面积的.3、2023山东济南如图1，中，过点作，且，连接交于点1求的长；2以点为圆心，为半径作A，试判断与A是否相切，并说明理由；3如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作A；以点为圆心，为半径作C假设和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和C相切，且使点在A的内部，点在A
5、的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解1在中， ， 2与A相切在中， 又，与A相切 3因为，所以的变化范围为 当A与C外切时，所以的变化范围为；当A与C内切时，所以的变化范围为4、2023浙江嘉兴某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上以过山脚点C的水平线为x轴、过山顶点A的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图单位：百米AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且1设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；2从山顶开始、沿迎面山坡往
6、山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上见图分别求出前三级台阶的长度精确到厘米；这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？3在山坡上的700米高度点D处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，米假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为试求索道的最大悬空高度上山方向长度高度解 1是山坡线AB上任意一点，4，2在山坡线AB上，令，得 ；令，得第一级台阶的长度为百米厘米同理，令、，可得、第二级台阶的长度为百米厘米第三级台阶的长度为百米厘米取点，又取，那么这种台阶不能从山顶一直铺
7、到点B，从而就不能一直铺到山脚注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图这种台阶的长度不小于它的高度当其中有一级台阶的长大于它的高时，在题设图中，作于H那么，又第一级台阶的长大于它的高这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚上山方向3、由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在BC上方时，悬空高度当时，索道的最大悬空高度为米 5、2023山东烟台如图，抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，1假设抛物线l2与l
8、1关于x轴对称，求l2的解析式；2假设点B是抛物线l1上的一动点B不与A、C重合，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；3探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两局部的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？假设存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；假设不存在，请说明理由。解1设l2的解析式为y=a(x-h)2+kl2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是0，4 y=ax2+4 0=4a+4 得 a=-1 l2的解析式
9、为y=-x2+4 (2)设B(x1 ,y1) 点B在l1上 B(x1 ,x12-4) 四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 B、D关于O对称 D(-x1 ,-x12+4). 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 左边=右边 点D在l2上. (3)设平行四边形ABCD的面积为S,那么 S=2xSABC =ACx|y1|=4|y1| a.当点B在x轴上方时，y10 S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， S既无最大值也无最小值 b.当点B在x轴下方时，-4y10 S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， 当y1 =-4
10、时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上. ACBD 平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16. 6、2023山东潍坊二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴一次函数的图象与二次函数的图象交于两点在的左侧，且点坐标为平行于轴的直线过点1求一次函数与二次函数的解析式；2判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；3把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？解1把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析
11、式为，把代入得，二次函数解析式为 2由解得或，过点分别作直线的垂线，垂足为，那么，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，那么， 的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相切3平移后二次函数解析式为，令，得，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，那么，在三角形中，而，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为 7、2023江西问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设BON60，那么BMCN；如图2
12、，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设BON90，那么BMCN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，假设BON108，那么BMCN。任务要求：1请你从、三个命题中选择一个进行证明；说明：选做对得4分，选做对得3分，选做对得5分(2)请你继续完成以下探索：请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108，这样的线段有几条？不必写出画法，不要求证明如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，假设BON108，请问结论BMCN是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由。BOCMNA图1ABCMNOD图2图4NMOEDCBA解 1以下答案供参考： 1 如选命题 证明：在图1中，BON=601+2=603+2=60，