1、2023年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案一、选择题每题6分，共36分1二次函数，那么方程不同实数根的数目为 。 答 选。因为，所以有，因此原方程有个不同实根。注 也可以讨论根的分布情况。因为当时，函数单调下降，当时，函数单调上升，且的两个根为，所以当时，函数，因此有两个不同实根；当时，函数，因此也有两个不同实根。综上所述，原方程有个不同实根。2抛物线的参数满足，那么当变动时，抛物线的顶点一定在 上。抛物线 双曲线 圆或椭圆 直线答 选。抛物线的顶点的坐标为，设，那么有。因为，所以满足的条件等价于，于是有，即。3的三边的中点分别为，分别是上的点，并满足均平分的周长，分别是关于的对称点，
2、与交于点，假设，那么一定过 。内心 外心 重心 垂心答 选。设的三边长及半周长分别为，那么，所以。因为平行于，所以，于是有，所以是的角平分线。4假设方程的所有根为，其中为正整数，方程的所有根为，其中为正整数，那么的值为 。 答 选。方程等价于，其根即为与的交点的横坐标。等价于，其根即为与的交点的横坐标。因为与互为反函数，所以此它们的图像关于对称，因此所有根的算术平均就是与交点的横坐标。5考虑集合的所有非空子集，假设一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集，那么“好子集的数目有 个。 答 选。设一个“好子集中有个偶数，那么奇数的数目可以有个，因此“好子集的数目为 。6设不
3、定方程的正整数解中满足均大于的不同解的数目为，那么满足 。 ，但是有限的数 是无穷大答 选。是原不定方程的一个特解。对于原不定方程的任意一个正整数解，假设，且。设关于的二次方程的两个根为，由韦达定理，因此是正整数，且大于，于是也是原不定方程的一个解，并由小到大重新排列为。如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多个解，因此满足均大于的解有无穷多个。二、填空题每题9分，共54分7函数，那么的最大值与最小值的乘积为 。答 。因为，所以严格递增，于是最大值为，最小值为，其积为。注 单调性也可以直接由定义证明。8假设方程有模为的根，那么所有模为的根的和为 。答 。设是满足条件的根，那么原方程等价
4、于。两边同时取模，可得。因为，所以所有模为的根只可能为复平面上以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆的交点所对应的复数，因此有，经检验，这两个根都是原方程的根，于是可得所有模为的根的和为。9考虑的正方形方格表中的个格点，那么通过至少个格点的不同直线的数目为 。答 。水平和竖直的直线共有条，与两条对角线平行的直线共有条，其它满足条件的直线还有条，因此共有条。10.设表示不超过的最大整数，那么的值是 。答 。对于，因为不是整数，所以，于是有。11长方体满足，平面分别与交于点，那么四面体的体积为 。答 。因为，所以分别是的中点，于是有，从而可得四面体的体积为。12半径为的圆外一条直线，在上的投影
5、为，与圆交于点。设为上的点，在的同侧，且，圆中有条平行于的弦，且这条弦与的交点均分，那么的值为用表述 。答 。设的中点为，的中点为，由中线公式可得。因为在上，设，其中假设当在上时取正数，当在上时取负数，那么。因为，所以。注 为欧拉定理。三、解答题每题20分，共60分13锐角的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点，假设，证明的外心为的垂心。证明 设的三条高线分别为，垂心为，与交于点，那么 5分10分。15分同理可得，。因为，且有，所以，因此为的外心。20分注 无论在上还是在上，均有。14数列满足：，求的通项公式。解 由，两式相减得，5分即。设，那么有，即。10分设，由，可得，于是有。15分因为
6、，特征方程为，特征根为，从而可设。由及，定义，于是有，从而可得，因此有，。20分15有个选手，他们的积分分别为，名次分别为第。现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负。假设名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，那么胜者得分，负者得分；假设名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，那么胜者得分，负者得分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和，并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值名次并列是允许的。解 。5分假设新的冠军的得分不超过分，那么最多胜场；最多胜场；最多胜场；最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的
7、选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 ，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，从而他最多胜场；最多增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场。综上所述，所有选手胜的场数最多为，但是每两名选手进行的一场比赛都会胜一场，共胜场，矛盾。15分下面的例子说明新的冠军累计积分可以是分。胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；累计得分为。20分