1、树德协进中学20232023学年度（上）期半期考试高 2023 级 数 学 试 题（本卷总分值：150分，考试时间：120分钟）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。1假设直线的倾斜角为，那么等于 （ C ）A0 B C D不存在2 抛物线y=4x2的准线方程是 （ D ） Ax=1BCy=1D3.双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为（O为原点），那么两条渐近线的夹角为 （D ）A30B45C60D904. 点到直线：的距离为最大时，的值为 （ B ）A7 B5 C3 D15“点M在曲线上是“点M到两坐标轴距离相等的
2、 ( A )A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件6方程表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，那么的值依次为 （ B ）2、4、4； -2、4、4； 2、-4、4； 2、-4、-47椭圆的焦点， ，是椭圆上一点，且是，的等差中项，那么椭圆的方程是 （C ）A BC D 8设a,b,c分别是ABC中，A，B，C所对边的边长，那么直线sinAx+ay+c0与bxsinBy+sinC0的位置关系是 ( C ) 9F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，假设边MF1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是 （D ）A B C D 10实数x, y
3、满足，那么的最小值是 （ B ） A B C D211假设双曲线与直线无交点，那么离心率的取值范围是 （ A ） A B C D12（理科）E、F是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点P在上，那么EPF的最大值是 （ B ） A60 B30 C90 D45 PF1OF2xyM30）（文科）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点 F1作倾斜角为30的直线l，l与双曲线的右支交于点P，假设线段PF1的中点M落在y轴上，那么双曲线的渐近线方程为 （ C ）A BC D树德协进中学20232023学年度（上）期半期考试高 2023 级 数 学 试 题 第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题4分
4、，共16分，把答案填在题中横线上）13点（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点是 （ 1，2） 。14假设为圆的弦AB的中点, 那么直线AB的方程为_ xy3=0_.15(理科)过抛物线的焦点作直线交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2)，那么=_ 4 。 （文科）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点，又知点恰好为的中点，那么的值是 6 . 16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，那么动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线有相同的焦点
5、.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(12分) 一动点到两定点、的距离之差的绝对值等于，求点的轨迹方程。解：设点，依题意： 4分将方程移项后，两边平方，得：整理，得： 8分两边平方，得：整理，得： 为所求曲线的方程 12分18. (12分) 将直线绕着它与轴的交点按逆时针方向旋转角后，恰好与圆相切，求旋转角的最小值解： 因为直线与轴的交点为P（3，0），又圆的圆心C，半径为， 4分显然切线存在斜率，所以设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径可知，解得，和 由题设可知应取 8分由到角公式知，故旋转角的最小
6、值为 12分19. (12分) 直线（1）证明直线过定点； （2）假设直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）假设直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线的方程。解：（1）证明:直线的方程化为由 得 直线过定点 3分（2）由（1）知直线过定点，结合图像可得0 5分（3）依题意，有，且0 7分 10分当且仅当，即时，此时，的方程为： 12分OADCB6m2mFyxF20(12分) 一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如下列图，一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱
7、平放在船上，船宽5m，船面距离水面15m，集装箱的尺寸为长宽高=433(m). 试问此船能否通过此桥？并说明理由.解：建立如下列图的坐标系，使抛物线顶点O在坐标原点，对称轴与y轴重合，设抛物线方程为x2=ay (a4.25，故此船不能通过此桥 12分21(12分)双曲线的右焦点为F，渐近线上一点满足：直线PF与渐近线垂直。 （1）求该双曲线方程；（2）设A、B为双曲线上两点，假设点N（1，2）是线段AB的中点，求直线AB的方程.解：(1)设半焦距为，那么，直线l1的方程为，直线PF的方程为解方程组 可得，又点坐标为 双曲线方程为 6分 （2）设A(x1, y1), B(x2, y2)，那么有
8、, 得. 即直线AB的方程为, 即 12分22. (14分) (理科)如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，PDCBMNAxyOM为CD的中点.（1）求点M的轨迹方程；（2）过M作AB的垂线，垂足为N，假设存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，且，求此直线方程. 解：（1）设点M的坐标为M(x, y)(x0)，那么又 由ACBD有，即，x2+y2=1（x0）. 4分（2）设P（x, y），那么，代入M的轨迹方程有即，P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P到A、B的距离之和为定值，那么以A、B为焦点，故 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x0). 8分（3）易知l的斜率存在，设方程为联立9x2+y2=1，有设P(x1, y1), Q(x2, y2)，那么.，而. 整理，得 即所求l的方程为 14分（文科）双曲线C：（a0，b0）的离心率为e，假设直线l： x与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，FPQ为等边三角形（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）假设双曲线C被直线yaxb截得的弦长为，求双曲线c的方程（2）由（1）得双曲线C的方程为把 把代入得依题意，且双曲线C被直线yaxb截得的弦长为 整理得或双曲线C的方程为：或14分