1、圆与方程-圆的方程模模范题模范一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并揣摸点P(2,4)与圆的关系剖析：欲求圆的标准方程，需要出圆心坐标的圆的半径的巨细，而要揣摸点P与圆的位置关联，只须看点P与圆心的间隔跟圆的半径的巨细关联，那么点在圆上；假设间隔小于半径，那么点在圆内解法一：（待定系数法）假设间隔大年夜于半径，那么点在圆外；假设间隔等于半径，设圆的标准方程为(xa)(yb)r222圆心在y0上，故b0圆的方程为(xa)yr222又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点(1a)16r22(3a)24r2解之得：a1，r22022因而所求圆的方程为(x1
2、)y20解法二：（单刀直入求出圆心坐标跟半径）因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，因而圆心C必在线段AB的垂直中分线l上，又因为42kAB1，故l的歪率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直中分线l的方程为：13y3x2即xy10又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0)2(11)42半径rAC2022(x1)y20故所求圆的方程为又点P(2,4)到圆心C(1,0)的间隔为2(21)42dPC25r点P在圆外说明：此题运用两种方法求解了圆的方程，都缭绕着求圆的圆心跟半径这两个要害的量，而后依照圆心与定点之间的间隔跟半径的巨细关联来断定点与圆的位置关联，假设将点换成直线又该如何样来
3、断定直线与圆的位置关联呢？2xy24x2y40相切，且跟直线y0相切的圆的方程例2求半径为4，与圆剖析：依照咨询题的特点，宜用圆的标准方程求解C：(xa)(yb)r222解：那么题意，设所求圆的方程为圆圆C与直线y0相切，且半径为4，那么圆心C的坐标为C(a,4)或C(a,4)1222又已经清晰圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3CA437CA431或假设两圆相切，那么222222(1)当C(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故可得1a2210所求圆方程为(x2210)(y4)4222(x2210)(y4)4222，或C(a,4)时，(a2)(41
4、)7222(a2)(41)1222(无解)，故(2)当，或2a226所求圆的方程为(x226)(y4)4222(x226)(y4)4222，或说明：对此题，易发作以下曲解：由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，那么圆心坐标为C(a,4)，且方程形如22222222(xa)(y4)4又圆xy4x2y40，即(x2)(y1)3，其圆心为222A(2,1)，半径为3假设两圆相切，那么CA43故(a2)(41)7，解之得a2210所以欲求圆的方程为(x2210)(y4)4222(x2210)(y4)4222，或上述曲解只思索了圆心在直线y0上方的情况，而疏漏了圆心在直线y0下方的情况不的，误解中不思
5、索两圆内切的情况也是不双方面的例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0跟2xy0都相切的圆的方程剖析：欲断定圆的方程需断定圆心坐标与半径，因为所求圆过定点A，故只要断定圆心坐标又圆与两已经清晰直线相切，故圆心必在它们的交角的中分线上解：圆跟直线x2y0与2xy0相切，圆心C在这两条直线的交角中分线上，又圆心到两直线x2y0跟2xy0的间隔相称x2yx2y55两直线交角的中分线方程是x3y0或3xy0又圆过点A(0,5)，圆心C只能在直线3xy0上设圆心C(t,3t)C到直线2xy0的间隔等于AC，2t3t2t2(3t5)5化简收拾得t26t50t1t5解得：或圆心是(1,3)，半径为5或圆心
6、是(5,15)，半径为552222所求圆的方程为(1)(3)5或xy(x5)(y15)125说明：此题处理的要害是剖析失落丧失落圆心在已经清晰两直线的交角中分线上，从而断定圆心坐标失落丧失落圆的方程，这是过定点且与两已经清晰直线相切的圆的方程的惯例求法yx3:1，在满意前提例4、设美满意：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分红两段弧，其弧长的比为(1)(2)的一切圆中，求圆心到直线l：x2y0的间隔最小的圆的方程剖析：央求圆的方程，只须运用前提求出圆心坐标跟半径，便可求得圆的标准方程满意两个前提的圆有有数个，其圆心的靠拢可看作动点的轨迹，假设能求出这轨迹的方程，便可运用点到直线的间隔公式，经过
7、求最小值的方法寻到契合题意的圆的圆心坐标，进而断定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为P(a,b)，半径为rx那么P到轴、y轴的间隔分不为ba跟由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为2rr22b2又圆截y轴所得弦长为22r2a1又P(a,b)到直线x2y0的间隔为a2b5d25d2a2ba24b24aba4b2(ab2)222222ba15ab时取“=号，如今dmin当且仅当这时有5ab222ba1a1a1或b1b1又r22b222222(x1)(y1)2(x1)(y1)2或故所求圆的方程为解法二：同解法一，得a2bd5a2b5da4b45bd5d2222将a22
8、b1代入上式得：222b45bd5d10上述方程有实根，故28(5d1)0，5d将d55ba1代入方程得52a22又b11由知、同号a2b1ab2222(x1)(y1)2(x1)(y1)2或故所求圆的方程为说明：此题是求点到直线间隔最小时的圆的方程，假设变更为求面积最小呢？模范二：切线方程、切点弦方程、大年夜众弦方程22O：xy4，求过点P2，4与圆O相切的切线例5已经清晰圆解：点P2，4不在圆O上，切线PT的直线方程可设为ykx24依照dr2k421k2343解得因而即kx24y43x4y100因为过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的歪率不存在易求另一条切线为x2说明：上述解题进
9、程随便漏解歪率不存在的情况，要留意补回遗漏的解此题另有其余解法，比方把所设的切线方程代入圆方程，用判不式等于0处理（也要留意漏解）还能够运用xxyyr2，求出切点坐标、xy的值来处理，如今不漏解00002222C：xyDxEyF0与C：xyDxEyF0订交于A、B两例6两圆11112222点，求它们的大年夜众弦AB地点直线的方程剖析：起首求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，然而求两圆交点坐标的进程太繁为了防止求交点，能够采纳“设而不求的技艺解：设两圆CC的任一交点坐标为(x,y)，那么有：、120022x0x0y0DxEyF01010122y0DxEyF020202(DD)x(EE
10、)yFF0得：12012012A、B的坐标满意方程(DD)x(EE)yFF0121212(DD)x(EE)yFF0是过AB方程、两点的直线方程121212又过A、B两点的直线是独一的两圆CCAB地点直线的方程为(DD)x(EE)yFF0121212、的大年夜众弦12说明：上述解法中，奇特地避开了求A、B两点的坐标，尽管设出了它们的坐标，但并不去求它，而是运用曲线与方程的不美不雅念到达了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求的技艺，从常识内容的角度上说，还表达了对曲线与方程的关联的深入了解以及对直线方程是一次方程的本质见地它的运用特不普遍例7、过圆x2y1外一点M(2,3)，作那个圆的两条切线
11、MAMB，切点分不是AB，求2、直线AB的方程。练习：221求过点M(3,1)，且与圆(x1)y4相切的直线的方程l解：设切线方程为y1k(x3)，即kxy3k10，圆心(1,0)到切线l的间隔等于半径2，|k3k1|342，解得k，21k23切线方程为y1(x3)，即3x4y130，4当过点故直线M的直线的歪率不存在时，其方程为x3，圆心(1,0)到此直线的间隔等于半径2，x3也适合题意。因而，所求的直线l的方程是3x4y130或x352、过坐标原点且与圆x2y24x2y0相切的直线的方程为2522解：设直线方程为ykx，即kxy0.圆方程可化为(x2)(y1)2，圆心为（2，2k11021
12、0，解得213k3k或-1），半径为.依题意有，直线方程为y3x或2k11yx.3223、已经清晰直线5x12ya0与圆x2xy0相切，那么a的值为.5a解：圆(x1)2y21，解得或a8a18.1的圆心为（1，0），半径为1，25122模范三：弦长、弧咨询题22C:xy2x4y0截得的弦AB的长.例8、求直线l:3xy60被圆2例9、直线3xy230截圆xy24得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d3，故弦长AB2r2d22，从而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例10、求两圆x2y2xy20x2y5的大年夜众弦长2跟模范四：直线与圆的位置关联22例11、已经清晰直线3xy230跟圆xy4，揣摸此直线与已经清晰圆的位置关联.4x2有且只要一个大年夜众点，务实数m的取值范畴.例12、假设直线yxm与曲线y4x2xy4(y0)，运用数形结公正，可得实数22m的取值范解：曲线y表现半圆围是2m2或m22.22(x3)(y3)9例13圆3x4y110的间隔为1的点有多少多个？上到直线剖析：借助图形直不美不雅求解或先求出直线